Krististudio.ru

Онлайн образование
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Компланарные векторы 11 класс урок

Компланарные векторы
презентация к уроку по геометрии (10 класс) на тему

Презентация к уроку

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Компланарные векторы Л.С. Атанасян «Геометрия 10-11» 1

Векторы называются компланарными , если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости. c Другими словами, векторы называются компланарными , если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости. a c Любые два вектора компланарны. 2

Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, также компланарны. c a k 3

Три произвольных вектора могут быть как компланарными, так и не компланарными. На рисунке изображен параллелепипед. А О Е D C Являются ли векторы ВВ 1 , О D и ОЕ компланарными? В B 1 4

Три произвольных вектора могут быть как компланарными, так и не компланарными. На рисунке изображен параллелепипед. А О Е D C В B 1 Векторы ОА, ОВ и ОС не компланарны, так как вектор ОС не лежит в плоскости ОАВ. Являются ли векторы ОА, ОВ и ОС компланарными? 5

B C A 1 B 1 C 1 D 1 Являются ли векторы AD , А 1 С 1 и D 1 B компланарными? Векторы А 1 D 1 , A 1 C 1 лежат в плоскости А 1 D 1 C 1 . Вектор D 1 В не лежит в этой плоскости. Векторы AD , А 1 С 1 и D 1 B не компланарны. A D 6

A B C A 1 B 1 C 1 D 1 D Являются ли векторы AD и D 1 B компланарными? Любые два вектора компланарны. 7

№355 Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1 . Компланарны ли векторы? В А В 1 С 1 D 1 D С А 1 АА 1 , СС 1 , ВВ 1 Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, компланарны. 8

№355 Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1 . Компланарны ли векторы? В А В 1 С 1 D 1 D С А 1 АВ, А D , АА 1 Векторы АВ, А D и АА 1 не компланарны, так как вектор АА 1 не лежит в плоскости АВС. 9

№355 Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1 . Компланарны ли векторы? В А В 1 С 1 D 1 D С А 1 В 1 В, АС, DD 1 Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, компланарны. 10

№355 Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1 . Компланарны ли векторы? В А В 1 С 1 D 1 D С А 1 А D , CC 1 , А 1 B 1 Векторы АВ, А D и АА 1 не компланарны, так как вектор АА 1 не лежит в плоскости АВС. А D , CC 1 , А 1 B 1 Векторы не компланарны 11

Любые два вектора компланарны. Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, также компланарны. Если вектор можно разложить по векторам и , т.е. представить в виде где x и y – некоторые числа, то векторы , и компланарны. c a b c = xa + yb a b c Признак компланарности 12

c = xa + yb Докажем, что векторы компланарны. b О В В 1 А 1 А С ОВ 1 = у ОВ ОА 1 = х ОА Векторы ОА и ОВ лежат в одной плоскости ОАВ. Векторы ОА 1 и ОВ 1 также лежат плоскости ОАВ. А следовательно, и их сумма – вектор ОС = х ОА + у ОВ, равный вектору . c c a 13

Если вектор можно разложить по векторам и , т.е. представить в виде где x и y – некоторые числа, то векторы , и компланарны. c a b c = xa + yb a b c Признак компланарности Справедливо и обратное утверждение. Если векторы , и компланарны, а векторы и не коллинеарны, то вектор можно разложить по векторам и , причем коэффициенты разложения определяются единственным образом. c a b c = xa + yb a b c a b 14

Сложение векторов. Правило треугольника. a a b b a + b АВ + ВС = АС П О В Т О Р И М 15

Сложение векторов. Правило параллелограмма. a a b b a + b b a + АВ + А D = АС А В D C П О В Т О Р И М 16

Сложение векторов. Правило многоугольника. = А O АВ + ВС + С D + DO a c n m c m n a+c+m+n a П О В Т О Р И М 17

A В С В 1 D Е Правило параллелепипеда. a b c О OE + ED = (OA + AE) + ED = OA + OB + OC = = a + b + c OA + OB + OC = OD из OED из OAE OD = 18

Теорема о разложении вектора по трем некомпланарным векорам. Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам. Если вектор представлен в виде где , и — некоторые числа, то говорят, что вектор разложен по векторам , и . Числа , и называются коэффициентами разложения. p = xa + yb + zc c x z p y b a x z y 19

p = xa + yb + zc Докажем, что любой вектор можно представить в виде p b c a p C B P 1 A P P 2 a b c p O По правилу многоугольника ОР = ОР 2 + Р 2 Р 1 + Р 1 Р ОР 2 = x OA Р 2 Р 1 = у O В Р 1 Р = z OC ОР = x OA + y OB + z OC p = xa + yb + zc 20

Если предположить, например, что , то из этого равенства можно найти Докажем теперь, что коэффициенты разложения определяются единственным образом. Допустим, что это не так и существует другое разложение вектора p = x 1 a + y 1 b + z 1 c p = xa + yb + zc – o = ( x – x 1 )a + (y – y 1 )b + (z – z 1 )c Это равенство выполняется только тогда, когда o o o Тогда векторы компланарны. Это противоречит условию теоремы. Значит, наше предположение не верно, и Следовательно, коэффициенты разложения определяются единственным образом. 21

Читать еще:  Полиглот английский 11 урок

D В A С B 1 C 1 D 1 №35 8 Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1 . Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: АВ + А D + АА 1 A 1 = AC 1 22

В A С C 1 D 1 D №35 8 Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1 . Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: D А + DC + DD 1 A 1 = DB 1 B 1 23

В A С C 1 D 1 D №35 8 Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1 . Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: A 1 = DB 1 B 1 A 1 B 1 + C 1 B 1 + BB 1 DC + DD 1 + DA 24

В A С C 1 D 1 D №35 8 Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1 . Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: A 1 = A 1 C B 1 A 1 A + A 1 D 1 + AB + A 1 B 1 A 1 A + A 1 D 1 25

В A С C 1 D 1 D №35 8 Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1 . Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: A 1 = BD 1 B 1 B 1 A 1 + BB 1 + BC BA + BB 1 + BC 26

В A С C 1 D 1 D №359 Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1 . Разложите вектор BD 1 по векторам BA , ВС и ВВ 1 . A 1 B 1 В D 1 = BA + BC + BB 1 По правилу параллелепипеда 27

В A С C 1 D 1 D №359 Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1 . Разложите вектор B 1 D 1 по векторам А 1 A , А 1 В и А 1 D 1 . A 1 B 1 В 1 D 1 = B 1 A 1 + А 1 D 1 По правилу треугольника из А 1 В 1 D 1 : из А 1 В 1 B = ( В 1 B + BA 1 )+ А 1 D 1 = = (A 1 A – A 1 B)+ А 1 D 1 = = = A 1 A – A 1 B+ А 1 D 1 28

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Методические рекомендации по проведению практического занятия по дисциплине «Математика». Практическое занятие №5. Угол между двумя прямыми; условие параллельности и перпендикулярности прямых; у.

презентация к уроку на тему «Вектор. Модуль вектора. Равенство векторов. Сложение векторов.».

В 10 классе при рассмотрении основ кинематики возникает необходимость работы учащимся с векторными величинами. Данная презентация может быть использована для повторения математических основ поня.

Презентация для изучения нового материала.

Данный тест с автоматизированой проверкой ответа, может быть использован на занятиях промежуточного, обобщающего или итогового контроля знаний учащихся. Для корректной работы теста, необходимо у.

Учет индивидуальной подструктуры мышления у обучающихся ведет к усвоению математического материала и привитию устойчивого интереса к математике. Разработала учитель математики высшей к.к. МБОУ СОШ №19.

Компланарные векторы. Правило параллелепипеда — КОМПЛАНАРНЫЕ ВЕКТОРЫ — ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ

1) ввести определение компланарных векторов;

2) рассмотреть признак компланарности трех векторов и правило параллелепипеда, сложение трех некомпланарных векторов.

I. Организационный момент

II. Постановка целей и мотивация урока

III. Объяснение нового материала

Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости. Любые два вектора компланарны; три вектора, среди которых два коллинеарные, также компланарны (объясните почему).

На рис. 1 изображен параллелепипед.

Векторы — компланарны, так как, если отложить от точки О вектор, равный то получится вектор а векторы лежат в плоскости ОСЕ. — некомпланарны, так как вектор не лежит в плоскости ОАВ. Признак компланарности 3-х векторов: если вектор можно разложить по векторам то есть представить в виде: (х, у — некоторые числа), то векторы — компланарны.

Доказательство: Пусть не коллинеарные (рис. 2) (если коллинеарные — компланарность очевидна). Отложим отточки О векторы: и лежат в плоскости ОАВ. В плоскости ОАВ лежат и векторы и лежит в той же плоскости. Что и требовалось доказать. Обратное утверждение: если векторы компланарны, а векторы некомпланарны, то вектор можно разложить по векторам то есть причем коэффициенты х и у определяются единственным образом.

Доказательство: (самостоятельно) на основании теоремы о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам.

1) — компланарны (по условию).

Если их отложить от точки А, то они будут лежать в одной плоскости.

2) Построим параллелограмм ABCD:

3) коллинеарные аналогично

4) что и требовалось доказать (единственность коэффициентов х, у доказать самостоятельно дома).

Правило параллелепипеда (для сложения трех некомпланарных векторов).

Дано: (рис. 3).

IV. Формирование знаний и умений

Устно — № 355 а) да; б) нет; в) да; г) нет.

Дано: (рис. 4).

1) Доказательство:

2) — компланарны — ?

согласно признаку компланарности, векторы компланарны.

Решение упражнений № 359 a)

V. Подведение итогов

(по вопросам 13, 14, 15, стр. 92)

№ 358, 359 (б); доп. 368, (а, б)

Ответ к д/з № 358

№ 359 б)

№ 368 а) б)

Библиотека образовательных материалов для студентов, учителей, учеников и их родителей.

Наш сайт не претендует на авторство размещенных материалов. Мы только конвертируем в удобный формат материалы из сети Интернет, которые находятся в открытом доступе и присланные нашими посетителями.

Читать еще:  Скретч 2 уроки

Если вы являетесь обладателем авторского права на любой размещенный у нас материал и намерены удалить его или получить ссылки на место коммерческого размещения материалов, обратитесь для согласования к администратору сайта.

Разрешается копировать материалы с обязательной гипертекстовой ссылкой на сайт, будьте благодарными мы затратили много усилий чтобы привести информацию в удобный вид.

© 2014-2020 Все права на дизайн сайта принадлежат С.Є.А.

Геометрия. 10 класс

Конспект урока

Геометрия, 10 класс

Урок №18. Компланарные векторы. Векторный метод решения задач

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

— какие векторы называются компланарными и их изображение на чертежах

-определение компланарных векторов.

— признак компланарности трех векторов и правило параллелепипеда, сложение трех некомпланарных векторов.

— основы векторного метода решения задач.

Атанасян Л.С. и др. Геометрия. Учебник для 10-11классов — М.: Просвещение, 2017. C. 77-85.

Ершова А.П., Голобородько В.В., Крижановский А.Ф. Тетрадь-конспект по геометрии для 10 класса. 2016. С.88-93.

Теоретический материал для самостоятельного изучения:

Давайте вспомним основные определения по теме «Векторы». В этом поможет следующее задание: установите соответствие между понятием и его определением.

Противоположно направлены и их длины равны.

Сонаправлены и их длины равны.

Лежат на одной или параллельных прямых

Появилось новое понятие о векторах в пространстве, которого не было на плоскости — компланарность векторов. С определения компланарных векторов и начинаются главные отличия векторов в планиметрии и стереометрии.

Определение2.Векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.

Рассмотрим некоторые случаи:

1 случай. Любые два вектора всегда будут компланарными, ведь через них
можно провести прямые, а через две прямые всегда можно провести
единственную плоскость.

2 случай. Три вектора будут компланарными если среди них есть пара коллинеарных
векторов. Тогда через один из коллинеарных векторов и вектор не коллинеарный ему
можно провести плоскость. А для второго из коллинеарных векторов легко
изобразить равный в этой плоскости.

3 случай. Если хотя бы один из трёх векторов является нулевым, то эти три вектора компланарны

Из планиметрии: Любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Следующая теорема выражает признак компланарности трех векторов. Теорема (признак) Если вектор можно представить в виде = х + у, где х и у — некоторые числа, то векторы , и компланарны.

Для сложения трёх некомпланарных векторов можно пользоваться правилом параллелепипеда. Отложим от произвольной точки О векторы =, =, = и построим параллелепипед так, чтобы отрезки ОА, ОВ и ОС были рёбрами.
Тогда ОD — диагональ этого параллелепипеда равна сумме векторов, и . Если вектор можно представить в виде суммы: = х + у + z, то говорят, что вектор d разложен по векторам , и . Числа х, у, z называют коэффициентами разложения.

Теорема. Любой вектор можно разложить по трём данным некомпланарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Часть 2. Векторный метод решения задач

Векторный метод решения задач – один из наиболее общих методов решения геометрических задач. Векторное решение стереометрических задач значительно проще их решения средствами элементарной геометрии.

Рассмотрим следующую задачу: Доказать, что прямая, проведенная через середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения продолжений боковых сторон.

Пусть ABCD — данная трапеция, M и N — середины оснований BC И AD, а O — точка пересечения прямых AB и CD.

Докажем, что точка О лежит на прямой МN.

Условие задачи переводится на «векторный» язык. После такого перевода осуществляются алгебраические вычисления с векторами, а затем полученное снова «переводится» на «геометрический» язык.

Решением задач векторным методом занимались ученые: Уильман Гамильтон Иога́нн Берну́лли, Пьер Ферма, Рене Декарт, Леонард Эйлер.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля:

Задача. В параллелепипеде АВСDА1В1С1D1 М —точка пересечения диагоналей грани A1B1C1D1, точка K — середина ребра ВВ1. Докажите, что прямые А1В1, KМ и ВС1 параллельны некоторой плоскости.

Решение. Введем векторы: . Векторы некомпланарны.

Разложим векторы и по векторам. Получим:

+= .

Тогда векторы = + компланарны. Следовательно, они параллельны некоторой плоскости, тогда этой плоскости параллельны и прямые А1В1, KМ и ВС1.

Геометрия 11 класс. Тема: Компланарные векторы

При пользовании «Инфоуроком» вам не нужно платить за интернет!

Минкомсвязь РФ: «Инфоурок» включен в перечень социально значимых ресурсов .

Выбранный для просмотра документ Компланарные векторы. Правило параллелепипеда.ppt

Описание презентации по отдельным слайдам:

Компланарные векторы. Правило параллелепипеда

Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости. Другими словами, векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости. Любые два вектора компланарны. Определение компланарных векторов

Читать еще:  Английский за 16 часов 5 урок

Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, также компланарны. Вывод: Компланарность трёх векторов

На рисунке изображен параллелепипед. А О Е D C В B1

А О Е D C В B1 На рисунке изображен параллелепипед. ВЫВОД: Три произвольных вектора могут быть как компланарными, так и не компланарными.

B C A1 B1 C1 D1 A D

A B C A1 B1 C1 D1 D Любые два вектора компланарны.

№355 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Компланарны ли векторы? В А В1 С1 D1 D С А1 Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, компланарны.

№355 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Компланарны ли векторы? В А В1 С1 D1 D С А1

Сделаем выводы: Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, также компланарны. Любые два вектора компланарны

Докажем, что векторы компланарны. В1

Сложение векторов. Правило треугольника. b П О В Т О Р И М

Сложение векторов. Правило параллелограмма. А В D C П О В Т О Р И М

Сложение векторов. Правило многоугольника. П О В Т О Р И М

Правило параллелепипеда. b из Δ OED из Δ OAE

В A С B1 C1 D1 №358 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: АВ + АD + АА1 A1

В A С C1 D1 №358 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: DА + DC + DD1 A1 B1

В A С C1 D1 №358 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: A1 B1 A1B1 + C1B1 + BB1

В A С C1 D1 №358 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: A1 B1

В A С C1 D1 №358 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: A1 B1

В A С C1 D1 №359 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Разложите вектор BD1 по векторам BA, ВС и ВВ1. A1 B1

В A С C1 D1 №359 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Разложите вектор B1D1 по векторам А1A, А1В и А1D1. A1 B1 из Δ А1В1B = = =

Выберите книгу со скидкой:

Математика. Экспресс-справочник для подготовки к ЕГЭ

350 руб. 107.00 руб.

ОГЭ. Математика. Большой сборник тематических заданий для подготовки к основному государственному экзамену

350 руб. 171.00 руб.

Для детского сада. Математика. Средняя группа

350 руб. 144.00 руб.

Математика. Сложение и вычитание. Уровень 3 Kumon

350 руб. 464.00 руб.

ЕГЭ. Математика. Большой сборник тематических заданий для подготовки к единому государственному экзамену. Базовый уровень

350 руб. 181.00 руб.

Математика. Вычитание. Уровень 2 Kumon

350 руб. 464.00 руб.

Математика. Дроби. Уровень 4 Kumon

350 руб. 464.00 руб.

Повтори летом! Математика. Полезные и увлекательные задания. 1 класс

350 руб. 87.00 руб.

Альбом по подготовке к школе. Математика

350 руб. 272.00 руб.

Для детского сада. Математика. Старшая группа

350 руб. 144.00 руб.

Для детского сада. Математика. Подготов. группа

350 руб. 144.00 руб.

Для детского сада. Математика. Младшая группа

350 руб. 144.00 руб.

БОЛЕЕ 58 000 КНИГ И ШИРОКИЙ ВЫБОР КАНЦТОВАРОВ! ИНФОЛАВКА

Инфолавка — книжный магазин для педагогов и родителей от проекта «Инфоурок»

Бесплатный
Дистанционный конкурс «Стоп коронавирус»

  • Пичугина Татьяна Анатольевна
  • Написать
  • 04.09.2015

Номер материала: ДA-027952

Добавляйте авторские материалы и получите призы от Инфоурок

Еженедельный призовой фонд 100 000 Р

  • 04.09.2015
  • 382
  • 04.09.2015
  • 502
  • 04.09.2015
  • 599
  • 04.09.2015
  • 795
  • 04.09.2015
  • 8225
  • 04.09.2015
  • 392
  • 04.09.2015
  • 1026

Не нашли то что искали?

Как организовать дистанционное обучение во время карантина?

Помогает проект «Инфоурок»

Вам будут интересны эти курсы:

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение редакции может не совпадать с точкой зрения авторов.

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако редакция сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector