Krististudio.ru

Онлайн образование
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия видеоурок

Урок по теме “Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия” (алгебра, 10кл.)

При пользовании «Инфоуроком» вам не нужно платить за интернет!

Минкомсвязь РФ: «Инфоурок» включен в перечень социально значимых ресурсов .

Урок по теме “Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия” (алгебра, 10кл.)

Цель урока: ознакомление учащихся с новым видом последовательности – бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Оборудование: проектор, экран.

Тип урока: урок – усвоение новой темы.

I . Орг. момент. Сообщение темы и цели урока.

II . Актуализация знаний учащихся.

В 9 классе вы изучали арифметическую и геометрическую прогрессии.

1. Определение арифметической прогрессии. (Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой,начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом).

2. Формула n -го члена арифметической прогрессии ()

3. Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии.

( или )

4. Определение геометрической прогрессии. (Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число).

5. Формула n -го члена геометрической прогрессии ( )

6. Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии. ()

7. Какие формулы вы еще знаете?

(, где ; ; ; , )

5. Для геометрической прогрессии найдите пятый член.

6. Для геометрической прогрессии найдите n -й член.

8. В геометрической прогрессии b 3 = 8 и b 5 = 2. Найдите b 1 и q .

III . Изучение новой темы (демонстрация презентации).

Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Нарисуем ещё один квадрат, сторона которого равна половине первого квадрата, затем ещё один, сторона которого – половина второго, потом следующий и т.д. Каждый раз сторона нового квадрата равна половине предыдущего.

В результате, мы получили последовательность сторон квадратов образующих геометрическую прогрессию со знаменателем .

И, что очень важно, чем больше мы будем строить таких квадратов, тем меньше будет сторона квадрата. Например,

Т.е. с возрастанием номера n члены прогрессии приближаются к нулю.

С помощью этого рисунка можно рассмотреть и ещё одну последовательность.

Например, последовательность площадей квадратов:

. И, опять, если n неограниченно возрастает, то площадь, как угодно близко приближается к нулю.

Рассмотрим ещё один пример. Равносторонний треугольник со стороной равной 1см. Построим следующий треугольник с вершинами в серединах сторон 1-го треугольника, по теореме о средней линии треугольника – сторона 2-го равна половине стороны первого, сторона 3-го – половине стороны 2-го и т.д. Опять получаем последовательность длин сторон треугольников.

при .

Если рассмотреть геометрическую прогрессию с отрицательным знаменателем.

То, опять, с возрастанием номера n члены прогрессии приближаются к нулю.

Обратим внимание на знаменатели этих последовательностей. Везде знаменатели были меньше 1 по модулю.

Можно сделать вывод: геометрическая прогрессия будет бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше 1.

Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы. .

С помощью определения можно решить вопрос о том, является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей или нет.

Является ли последовательность бесконечно убывающей геометрической прогрессией, если она заданна формулой:

; .

. Найдем q .

; ; ; .

данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.

б) данная последовательность не является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Разделим его пополам, одну из половинок ещё пополам и т.д. площади всех полученных прямоугольников при этом образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию:

Сумма площадей всех полученных таким образом прямоугольников будет равна площади 1-го квадрата и равна 1.

Но в левой части этого равенства – сумма бесконечного числа слагаемых.

Рассмотрим сумму n первых слагаемых.

По формуле суммы n первых членов геометрической прогрессии, она равна .

Если n неограниченно возрастает, то

или . Поэтому , т.е. .

Например, для прогрессии ,

имеем

Так как

Сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно находить по формуле .

III . Осмысление и закрепление (выполнение заданий).№4.38

IV . Подведение итогов.

С какой последовательностью сегодня познакомились?

Дайте определение бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Как доказать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей?

Назовите формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Урок по теме “Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия” (алгебра, 10кл.)
план-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему

Цель урока: ознакомление учащихся с новым видом последовательности – бесконечно убывающей геометрической прогрессией.
Задачи:
формулирование начального представления о пределе числовой последовательности;
знакомство с ещё одним способом обращения бесконечных периодических дробей в обыкновенные с помощью формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии;
развитие интеллектуальных качеств личности школьников такие, как логическое мышление, способность к оценочным действиям, обобщению;
воспитание активности, взаимопомощи, коллективизма, интереса к предмету.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Урок по теме “Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия” (алгебра, 10кл.)

Цель урока: ознакомление учащихся с новым видом последовательности – бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

формулирование начального представления о пределе числовой последовательности; знакомство с ещё одним способом обращения бесконечных периодических дробей в обыкновенные с помощью формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии;

развитие интеллектуальных качеств личности школьников такие, как логическое мышление, способность к оценочным действиям, обобщению;

воспитание активности, взаимопомощи, коллективизма, интереса к предмету.

Оборудование: компьютерный класс, проектор, экран.

Тип урока: урок – усвоение новой темы.

I. Орг. момент. Сообщение темы и цели урока.

II. Актуализация знаний учащихся.

В 9 классе вы изучали арифметическую и геометрическую прогрессии.

1. Определение арифметической прогрессии.

(Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой,

начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом).

2. Формула n -го члена арифметической прогрессии

3. Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии.

4. Определение геометрической прогрессии.

(Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел,

каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на

одно и то же число).

5. Формула n -го члена геометрической прогрессии

6. Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии.

7. Какие формулы вы еще знаете?

1. Арифметическая прогрессия задана формулой a n = 7 – 4n . Найдите a 10 . (-33)

2. В арифметической прогрессии a 3 = 7 и a 5 = 1 . Найдите a 4 . (4)

3. В арифметической прогрессии a 3 = 7 и a 5 = 1 . Найдите a 17 . (-35)

4. В арифметической прогрессии a 3 = 7 и a 5 = 1 . Найдите S 17 . (-187)

5. Для геометрической прогрессии найдите пятый член.

6. Для геометрической прогрессии найдите n -й член.

7. В геометрической прогрессии b 3 = 8 и b 5 = 2 . Найдите b 4 . (4)

8. В геометрической прогрессии b 3 = 8 и b 5 = 2 . Найдите b 1 и q .

9. В геометрической прогрессии b 3 = 8 и b 5 = 2 . Найдите S 5 . (62)

III. Изучение новой темы (демонстрация презентации).

Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Нарисуем ещё один квадрат, сторона которого равна половине первого квадрата, затем ещё один, сторона которого – половина второго, потом следующий и т.д. Каждый раз сторона нового квадрата равна половине предыдущего.

В результате, мы получили последовательность сторон квадратов образующих геометрическую прогрессию со знаменателем .

И, что очень важно, чем больше мы будем строить таких квадратов, тем меньше будет сторона квадрата. Например ,

Читать еще:  Турецкий язык за 7 уроков

Т.е. с возрастанием номера n члены прогрессии приближаются к нулю.

С помощью этого рисунка можно рассмотреть и ещё одну последовательность.

Например, последовательность площадей квадратов:

. И, опять, если n неограниченно возрастает, то площадь, как угодно близко приближается к нулю.

Рассмотрим ещё один пример. Равносторонний треугольник со стороной равной 1см. Построим следующий треугольник с вершинами в серединах сторон 1-го треугольника, по теореме о средней линии треугольника – сторона 2-го равна половине стороны первого, сторона 3-го – половине стороны 2-го и т.д. Опять получаем последовательность длин сторон треугольников.

Если рассмотреть геометрическую прогрессию с отрицательным знаменателем.

То, опять, с возрастанием номера n члены прогрессии приближаются к нулю.

Обратим внимание на знаменатели этих последовательностей. Везде знаменатели были меньше 1 по модулю.

Можно сделать вывод: геометрическая прогрессия будет бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше 1.

Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы. .

С помощью определения можно решить вопрос о том, является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей или нет.

Является ли последовательность бесконечно убывающей геометрической прогрессией, если она заданна формулой:

данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.

б) данная последовательность не является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Разделим его пополам, одну из половинок ещё пополам и т.д. площади всех полученных прямоугольников при этом образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию:

Сумма площадей всех полученных таким образом прямоугольников будет равна площади 1-го квадрата и равна 1.

Но в левой части этого равенства – сумма бесконечного числа слагаемых.

Рассмотрим сумму n первых слагаемых.

По формуле суммы n первых членов геометрической прогрессии, она равна .

Если n неограниченно возрастает, то

или . Поэтому , т.е. .

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии есть предел последовательности S 1 , S 2 , S 3 , …, S n , … .

Например, для прогрессии ,

Сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно находить по формуле .

III. Осмысление и закрепление (выполнение заданий).

№13; №14; №15(1,3); №16(1,3); №18(1,3); №19; №20.

IV. Подведение итогов.

С какой последовательностью сегодня познакомились?

Дайте определение бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Как доказать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей?

Назовите формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

V. Домашнее задание.

1. Читать § 2 (с. 133-137)

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Мыслить последовательно, судить доказательно, опровергать неправильные выводы должен уметь всякий: физик и поэт, тракторист и химик. Э.Кольман В математике следует помнить не формулы, а процессы мышления. В.П.Ермаков Легче найти квадратуру круга, чем перехитрить математика. Огастес де Морган Какая наука может быть более благородна, более восхитительна, более полезна для человечества, чем математика? Франклин

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия 10 класс

I . Арифметическая и геометрическая прогрессии. Вопросы 1. Определение арифметической прогрессии. Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. 2. Формула n -го члена арифметической прогрессии. 3. Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии . 4. Определение геометрической прогрессии. Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число 5. Формула n -го члена геометрической прогрессии. 6. Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии .

II . Арифметическая прогрессия. Задания Арифметическая прогрессия задана формулой a n = 7 – 4 n Найдите a 10 . (-33) 2. В арифметической прогрессии a 3 = 7 и a 5 = 1 . Найдите a 4 . (4) 3. В арифметической прогрессии a 3 = 7 и a 5 = 1 . Найдите a 17 . (-35) 4. В арифметической прогрессии a 3 = 7 и a 5 = 1 . Найдите S 17 . (-187)

II . Геометрическая прогрессия. Задания 5. Для геометрической прогрессии найдите пятый член 6. Для геометрической прогрессии найдите n -й член. 7. В геометрической прогрессии b 3 = 8 и b 5 = 2 . Найдите b 4 . (4) 8. В геометрической прогрессии b 3 = 8 и b 5 = 2 . Найдите b 1 и q . 9. В геометрической прогрессии b 3 = 8 и b 5 = 2 . Найдите S 5 . (62)

определение: Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы.

Задача №1 Является ли последовательность бесконечно убывающей геометрической прогрессией, если она заданна формулой: Решение: а) данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей. б) данная последовательность не является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии есть предел последовательности S 1 , S 2 , S 3 , …, S n , … . Например, для прогрессии имеем Так как Сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно находить по формуле

Выполнение заданий Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом 3, вторым 0,3. 2. №13; №14; учебник, стр. 138 3. №15(1;3); №16(1;3) №18(1;3); 4. №19; №20.

С какой последовательностью сегодня познакомились? Дайте определение бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Как доказать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей? Назовите формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Вопросы

На дом: 1. Читать § 2 (с. 133-137) 2. № 15(2;4), № 16(2;4), №18(2;4)

Известный польский математик Гуго Штейнгаус шутливо утверждает, что существует закон, который формулируется так: математик сделает это лучше. А именно, если поручить двум людям, один из которых математик, выполнение любой незнакомой им работы, то результат всегда будет следующим: математик сделает ее лучше. Гуго Штейнгаус 14.01.1887-25.02.1972

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

В презентации содержатся материалы к обобщающему уроку по алгебре в 9 классе по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии» .

Разработка урока в 9 классе с презентацией. Работа выполнена на башкирском языке.

Урок с применением ЭОР (электронных образовательных ресурсов) по теме»Бесконечно-убывающая геометрическая прогрессия» Алгебра и начала анализа 10 класс.

АЛГЕБРА и начала анализа 10 классШ.А.Алимов, ю.м.колягин и др3 урок в 10 классе по теме «Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия».Презентация подготовлена для работы с ин.

Данная самостоятельная работа состоит из 14 вариантов и предназначена для проведения контроля знаний учащихся 10 класса по теме «Предел последовательности. Бесконечно убывающая геометрическ.

Урок алгебры и начала анализа в 10 классе.

Урок по алгебре и началам анализа в 10 классе по тем: «Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия».

«Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия». 10-й класс

Разделы: Математика

Класс: 10

Предметные цели:

создать методическими средствами психолого-педагогические условия для усвоения понятий:

  1. БУГП
  2. СУММА БУГП

и применения их при решении ключевых задач:

  1. Алгоритм распознавания БУГП
  2. Вычисление суммы БУГП.

Цели личностного развития:

установление содержательных связей БУГП с элементами субъектного опыта учащихся в изучении математики по линиям тождественных преобразований, уравнений и действительных чисел.

Ход занятия (занятие состоит из 2-х уроков)

Урок 1.

1 этап: Диагностика усвоения материала по теме: “Действия с иррациональными числами”.

Самостоятельная работа, которая выполняется индивидуально каждым учащимся. Оперативная обратная связь осуществляется с помощью разбора решений примеров непосредственно по окончании самостоятельной работы.

Содержание самостоятельной работы:

(Задания приведены с ответами).

Читать еще:  Уроки си с нуля

По окончании работы проводится анализ результатов работы и оперативный разбор ошибок.

2 этап. Актуализация знаний, необходимых для изучения нового материала.

Работа осуществляется в форме фронтальной беседы с элементами организации поисковой деятельности. Полученные результаты фиксируются в тетрадях.

Содержание фронтальной работы:

а) определения понятия геометрической прогрессии (ГП);

б) формулы n-ого члена ГП;

в) формулы суммы n первых членов ГП.

2. Получение нового результата:

Рассмотрим формулу суммы n первых членов ГП:

.

При эту формулу можно переписать в виде: или , из чего следует формула

Положим в этом равенстве , тогда получим

, домножим обе части равенства на , получим

, а отсюда вытекает полезное тождество:

(Доказательство приведенных формул см. Виленкин Н.Я. и др. “Алгебра и математический анализ. 10 класс”, М., “Просвещение”, 1992г., стр.45).

В результате обсуждения, в процессе которого осуществляется конкретизация вновь полученного обобщенного знания, учащиеся приходят к выводу, что ранее изученные формулы разности квадратов и суммы и разности кубов представляют собой частные случаи выведенных формул:

Таким образом, удаётся установить содержательную связь БУГП с линией тождественных преобразований.

3 этап. Создание мотивации для формирования понятий БУГП и суммы БГУП.

Особенный интерес представляет обсуждение наглядной демонстрации существования суммы бесконечного числа слагаемых. Работа осуществляется фронтально, используются элементы исследовательской деятельности.

1. В процессе введения определения БУГП рассматриваются особенности ГП с ¦q¦ 2;

5)=; q=.

6) =; q=.

7) =; q=

8) =1; q=x; ¦x¦

Геометрическая прогрессия в задачах ЕГЭ по математике

Геометрическая прогрессия — это последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен произведению предыдущего члена и некоторого фиксированного числа q:

Фиксированное число q называется знаменателем геометрической прогрессии.

Формула n-го члена геометрической прогрессии:

Формула суммы первых членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению соседних:

1. На поверхности озера растут водоросли. За сутки каждая водоросль делится пополам, и вместо одной водоросли появляются две. Ещё через сутки каждая из получившихся водорослей делится пополам и так далее. Через 30 суток озеро полностью покрылось водорослями. Через какое время озеро было заполнено наполовину?

Ответ парадоксальный: через 29 суток.

Эту задачу лучше всего решать «с конца». Вот перед вами заполненное водорослями озеро. Что было сутки назад? Очевидно, водорослей было в два раза меньше, то есть озеро было покрыто ими наполовину.

Каждый день водорослей в озере становилось в два раза больше, то есть их число увеличивалось в геометрической прогрессии.

2. ЕГЭ) Бизнесмен Бубликов получил в 2000 году прибыль в размере 5000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 300% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Бубликов за 2003 год?

Невелика была прибыль Бубликова в 2000 году. Зато каждый год прибыль увеличивалась на 300%, то есть в 4 раза по сравнению с предыдущим годом. Геометрическая прогрессия! Ищем ее четвертый член:

3. (Задача ЕГЭ) Компания «Альфа» начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 3000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 100% от капитала предыдущего года. А компания «Бета» начала инвестировать средства в другую отрасль в 2003 году, имея капитал в размере 6000 долларов, и, начиная с 2004 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 200% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2006 года, если прибыль из оборота не изымалась?

Определим основные понятия задачи.

Капитал компании – совокупность всех средств, имеющихся у компании.

Прибыль – разница между доходом и расходом (затратами).

Если в 2002 году прибыль компании «Альфа» составляет 100% от капитала прошлого года, значит, за год капитал компании «Альфа» удвоился. Аналогично, капитал компании «Альфа» удваивается в 2003, 2004, 2005 и 2006 годах, то есть в 2006 году он составил тысяч долларов.

Капитал компании «Бета» ежегодно увеличивается в 3 раза. В 2006 году он увеличился в раз по сравнению с 2003 годом и составил долларов.

Это на 66 тысяч долларов больше, чем капитал компании «Альфа».

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия, знаменатель которой |q|

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия видеоурок

Письмо с инструкцией по восстановлению пароля
будет отправлено на вашу почту

  • Главная
  • 9-Класс
  • Алгебра
  • Видеоурок «Методика решения текстовых задач на арифметическую и геометрическую прогрессии»

Множество чисел, каждое из которых имеет номер, называется числовой последовательностью. Например, в последовательности чисел 3; 7; 12; 19; . и так далее, член последовательности 3 имеет номер 1, так как стоит на первом месте, а член последовательности 12 имеет номер 3, так как стоит на 3-ем месте. Обозначают члены последовательности прописными латинскими буквами с нижним индексом порядкового номера. Например, член последовательности х7 стоит на седьмом месте последовательности (хn). Из всех последовательностей выделяют две особые: арифметическую прогрессию и геометрическую прогрессию.

Геометрической прогрессией (bn) b1b2 . bn-1bnbn+1 . называется последовательность чисел, в которой каждый член, начиная со второго, отличается от предыдущего в одно и то же число

Это число называется знаменателем геометрической прогрессии и обозначается латинской буквой q. Зная первый член b1, отличный от нуля, знаменатель q и номер n члена геометрической прогрессии можно вычислить член прогрессии bn, стоящий на n — м месте, по формуле bn= b1 · qn – 1 .

В решении задач на геометрическую прогрессию полезно помнить основное свойство членов прогрессии, что каждый член прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому рядом стоящих членов, то есть квадратному корню из их произведения

Сумма n членов геометрической прогрессии Sn вычисляется как отношение произведения первого члена на 1 минус q в степени n к разности числа 1 и знаменателя прогрессии q, причём знаменатель q не равен 1:

или как отношение разности первого члена и последнего члена умноженного на знаменатель к разности числа 1 и знаменателя q, где знаменатель q не равен 1.

Все рассмотренные формулы суммы геометрической прогрессии применимы для конечной геометрической прогрессии.

Для бесконечной убывающей геометрической прогрессии знаменатель должен изменяться

от –1 до 1. Сумма такой прогрессии вычисляется по формуле отношения первого члена прогрессии к разности числа 1 и знаменателя q.

Рассмотрим примеры текстовых задач на использование формул геометрической прогрессии.

ЗАДАЧА 1. Колобок сбежал от дедушки с бабушкой и до встречи с зайцем прокатился 300 метров, а от встречи с медведем до встречи с лисицей 2км 400 метров. На какое расстояние укатился Колобок от дома, если все отрезки его пути между встречами, а именно до встречи с зайцем, до встречи с волком, до встречи с медведем и до встречи с лисицей составляют геометрическую прогрессию? Ответ выразить в километрах.

Читать еще:  Уроки для подростков по колористике

РЕШЕНИЕ. Смоделируем задачу, переведем на язык математики. По условию все отрезки пути Колобка между встречами: до встречи с зайцем, до встречи с волком, до встречи с медведем и до встречи с лисицей составляют геометрическую прогрессию. Значит, первый член геометрической прогрессии равен длине пути Колобка от дома до встречи с зайцем, то есть 300 метров b1 = 300.

Всего в данной прогрессии 4 члена: это длины отрезков пути до встречи с зайцем, с волком, с медведем и лисицей. Последний 4-ый член прогрессии равен 2км 400м или 2400м, так как по условию задачи Колобок прокатился от встречи с медведем до встречи с лисицей 2км 400 метров. Пользуясь формулой n-го члена прогрессии, выразим 4-й член, как

b4 = b1 · q3. Подставив в полученное уравнение значения первого и четвёртого членов геометрической прогрессии имеем уравнение с переменной q, такое как 300 · q3=2400.

Решая его, получаем единственный корень q =2. Чтобы ответить на главный вопрос задачи, надо найти сумму всех отрезков пути, пройденных Колобком между встречами. На математическом языке нашей модели ответом будет являться сумма всех 4-х членов геометрической прогрессии. Применим формулу суммы геометрической прогрессии равную отношению разности первого члена прогрессии и последнего члена умноженного на знаменатель прогрессии q к разности числа 1 и знаменателя q.

Получили, что сумма данной геометрической прогрессии равна 4500. Мы ответили на главный вопрос задачи: 4500м или 4,5 км прокатился Колобок от дома до встречи с лисицей.

ЗАДАЧА 2. Мальвина, Пьеро и Буратино зашли перекусить в театральный буфет Карабаса-Барабаса. Суммы денег, которые имел каждый из них, образуют геометрическую прогрессию. После обеда выяснилось, что у Пьеро осталось 150 рублей, у Мальвины – 180 рублей, а у Буратино –230 рублей. Определите, сколько денег потратил в буфете Буратино, если известно, что Мальвина заплатила за обед в 2 раза больше, а Буратино в 3 раза больше, чем потратил на обед Пьеро?

РЕШЕНИЕ. Решим задачу алгебраическим способом. Главным вопросом задачи является сумма денег, потраченных на обед Буратино. Но так как это число в 3 раза больше денег, потраченных Пьеро, то вопреки общепринятому правилу удобнее за переменную х рублей принять деньги, потраченные в буфете Пьеро, тогда затраты Буратино составят 3х рублей, а затраты Мальвины 2х рублей.

Смоделируем данные задачи на языке математики в форме геометрической прогрессии. Так как Мальвина потратила денег больше, чем Пьеро и остаток денег у Пьеро (150 рублей) меньше остатка денег у Мальвины (180 рублей), то очевидно, что первым членом прогрессии b1 будет являться капитал Пьеро до обеда (150 + х рублей), вторым членом b2 — первоначальная сумма денег Мальвины (180 + 2х рублей), а третьим членом геометрической прогрессии b3 будет изначальная сумма денег Буратино (230 + 3х рублей).

По основному свойству пропорции для любых трёх рядом стоящих членов геометрической прогрессии выполняется соотношение, что квадрат среднего члена равен произведению двух рядом стоящих членов прогрессии bk2 = bk –1 · bk+1. Значит, для прогрессии данной задачи имеем, что квадрат второго члена равен произведению первого и третьего членов прогрессии b22 = b1 · b3. Подставив соответствующие выражения в полученное соотношение, имеем квадратное уравнение (180 + 2х)2 = (150 + х)(230 + 3х). Раскроем скобки и выполним тождественные преобразования над полученным уравнением. Имеем 32400 + 720х + 4х2 = 3х2 + 680х + 34500. Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения и приведём подобные слагаемые. Получим квадратное уравнение х2 + 40х – 2100 = 0, которое имеет корни х1 = 30 и х2 = –70. Корень х = –70 является посторонним решением, так как значение (затраты Пьеро), не может быть отрицательной величиной. Корень х = 30 позволяет определить ответ на главный вопрос задачи. Но здесь потребуется дополнительное вычисление: 30 умноженное на 3. Получили, что Буратино потратил на обед 90 рублей.

Мы ответили на главный вопрос задачи. Ответ: 90 рублей.

Рассмотрим комбинированную задачу на одновременное применение свойств арифметической и геометрической прогрессий.

ЗАДАЧА 3. Возраст Шарика, Дяди Фёдора и почтальона Печкина из Простоквашино образуют геометрическую прогрессию. Если все их прожитые годы сложить, то получится 42 года. А если возраст Шарика увеличить на 1 год и возраст почтальона Печкина уменьшить на 19 лет, то в результате возрасты героев из Простоквашино образуют арифметическую прогрессию.

Определить возраст почтальона Печкина.

РЕШЕНИЕ. Решим задачу алгебраическим способом. Пусть х лет – возраст Шарика и первый член прогрессии b1 = x; q – знаменатель геометрической прогрессии, тогда возраст Дяди Фёдора будет вторым членом прогрессии и выразится b2 = x · q, а возраст почтальона Печкина является третьим членом прогрессии и выразится b3 = x · q2. По условию задачи, если все их прожитые годы сложить, то получится 42 года, значит, х + хq + xq2 = 42.

В условии задачи также сказано, что, если возраст Шарика увеличить на 1 и возраст почтальона Печкина уменьшить на 19, то в результате возрасты героев из Простоквашино образуют арифметическую прогрессию. Следовательно, для последовательности чисел

х + 1; xq; xq2 – 19 можно применить основное свойство арифметической прогрессии, что среди любых рядом стоящих трёх членов прогрессии удвоенный средний член равен сумме двух рядом стоящих членов прогрессии 2?k = ?k-1 + ?k+1.

Значит, 2xq = (x + 1) + (xq2 – 19). Перенесём всё в правую часть, тогда имеем уравнение

xq2 + х(1 – 2q) _ 18 = 0. Решим систему двух уравнений с двумя неизвестными х и q.

В обоих уравнениях выразим переменную х через q и приравняем выражения. Получаем

Известно, что в верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов пропорции, значит, 42(q2 – 2q + 1) = 18(1 + q + q2). Раскроем скобки, перенесём слагаемые в левую часть и приведём подобные слагаемые. Имеем 24q2 – 102q +24 = 0. Разделим обе части уравнения на 6, тогда квадратное уравнение 4q2 – 17q + 4 = 0 имеет корни q = 4 и q =0,25. По смыслу задачи заданная геометрическая прогрессия должна быть возрастающей, так как возраст почтальона Печкина, а значит и последний член прогрессии должен быть наибольшей величиной, следовательно, значение знаменателя прогрессии q должно быть больше 1. Тогда корень q = 0,25 является посторонним решением. Вычислим

Теперь ответим на главный вопрос задачи – определим возраст почтальона Печкина. Для этого xq2 = 2 · 42 = 2 · 16 = 32. Получили, что возраст почтальона Печкина составляет 32 года.

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector