Krististudio.ru

Онлайн образование
1 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Краткий курс алгебры за 7 класс

Краткий курс алгебры за 7 класс

Два уравнения называют равносильными, если они имеют одно и тоже множество корней.

Свойства уравнений
  • Если к обеим частям данного уравнения прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число, то получим уравнение, равносильное данному.
  • Если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.
  • Если обе части уравнения умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному
Линейное уравнение

Уравнение вида , где — переменная, и некоторые числа, называют линейным уравнением с одной переменной.

Одночлены и многочлены
Одночлены
  • Выражения, являющиеся произведениями чисел, переменных и их степеней, называют одночленами.
  • Одночлен, содержащий только один отличный от нуля числовой множитель, стоящий на первом месте, а все остальные множители которого — степени с разными основаниями, называют одночленом стандартного вида. К одночленам стандартного вида также относят числа, отличные от нуля, переменные и их степени.
  • Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называют коэффициентом одночлена.
  • Одночлены, имеющие одинаковые буквенные части, называют подобными. Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех переменных, входящих в него. Степень одночлена, являющегося числом, отличным от нуля, считают равной нулю.
  • Нуль-одночлен степени не имеет.
Многочлены
  • Выражение, являющееся суммой нескольких одночленов, называют многочленом.
  • Одночлены, из которых состоит многочлен, называют членами многочлена.
  • Одночлен является частным случаем многочлена. Считают, что такой многочлен состоит из одного члена.
Умножение одночлена на многочлен

Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

Умножение многочлена на многочлен

Чтобы умножить многочлен на многочлен, можно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и полученные произведения сложить.

Формулы сокращенного умножения
Разность квадратов двух выражений

Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы:

Произведение разности и суммы двух выражений

Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений:

Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения:

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений пл юс квадрат второго выражении:

Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений

позволяют «свернуть» трёхчлен в квадрат двучлена.

Трёхчлен, который можно представить в виде квадрата двучлена, н а зывают полным квадратом.

Сумма и разность кубов двух выражений

Многочлен называют неполным квадратом разности.

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выр а жений и неполного квадрата их разности:

Читать еще:  Курсы по самопознанию

Многочлен называют неполным квадратом суммы.

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы:

Степень. Свойства степени с целым показателем
Свойства степени с целым показателем

Для любого и любых целых выполняются равенства:

Для любых , и любого целого выполняются равенства:

Функция. Область определения и область значений функции
Функция

Правило, с помощью которого по каждому значению независимой переменной можно найти единственное значение зависимой переменной, называют функцией, а соответствующую зависимость одной п e ременной от другой — функциональной.
Обычно независимую переменную обозначают , зависимую обозначают , функцию(правило) – .
Независимую переменную называют аргументом функции. Значение зависимой переменной называют значением функции.
Тогда функциональную зависимость обозначают .
Значения, которые принимает аргумент, образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции.

Способы задания функции

Описательный, табличный, с помощью формулы, графический.

График функции

Графиком функции называют геометрическую фигуру, состоящую из всех тех и только тех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

Линейная функция, её график и свойства
  • Функцию, которую можно задать формулой вида , где и — некоторые числа, — независимая переменная, называют линейной.
  • Графиком линейной функции является прямая.
  • Линейную функцию, заданную формулой , где , называют прямой пропорциональностью.
Системы линейных уравнений с двумя переменными
Уравнение с двумя переменными

Пару значений переменных, обращающую уравнение с двумя переменными в верное равенство, называют решением уравнения с двумя переменными.

Решить уравнение с двумя переменными – значит найти все его решения или показать, что оно не имеет решений.

Графиком уравнения с двумя переменными называют геометрическую фигуру, состоящую из всех тех и только тех точек координатной плоскости, координаты которых (пары чисел) являются решениями данного уравнения.

Если некоторая фигура является графиком уравнения, то выполняются два условия:

  • все решения уравнения являются координатами точек, принадлежащих графику;
  • координаты любой точки, принадлежащей графику, — это пара чисел, являющаяся решением данного уравнения.
Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными

Графический метод решения системы уравнений заключается в следующем:

  • построить в одной координатной плоскости графики уравнений, входящих в систему;
  • найти координаты всех точек пересечения построенных графиков;
  • полученные пары чисел и будут искомыми решениями.

Если графиками уравнений, входящих в систему линейных уравнении, являются прямые, то количество решений этой системы зависит от взаимного расположения двух прямых на плоскости:

  • если прямые пересекаются, то система имеет единственное решение.
  • если прямые совпадают, то система имеет бесконечно много решении.
  • если прямые параллельны, то система решений не имеет.
Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки

Чтобы решить систему линейных уравнений методом подстановки, следует:

  • выразить из любого уравнения системы одну переменную через другую;
  • подставить в уравнение системы вместо этой переменной выражение, полученное на первом шаге;
  • решить уравнение с одной переменной, полученное на втором шаге;
  • подставить найденное значение переменной в выражение, полученное на первом шаге;
  • вычислить значение второй переменной;
  • записать ответ.
Читать еще:  Курсы фотошоп для начинающих
Решение систем линейных уравнений методом сложения

Чтобы решить систему линейных уравнений методом сложения, следует:

  • подобрать такие множители для уравнений, чтобы после преобразований коэффициенты при одной из переменной стали противоположными числами
  • сложить почленно левые и правые части уравнений, полученных на первом шаге
  • решить уравнение с одной переменной, полученной на втором шаге
  • подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы;
  • вычислить значение второй переменной;
  • записать ответ.

Правила по алгебре 7 класс

При пользовании «Инфоуроком» вам не нужно платить за интернет!

Минкомсвязь РФ: «Инфоурок» включен в перечень социально значимых ресурсов .

Выражение с переменными

— это выражение, состоящее из чисел.

— это выражение, состоящее из чисел и переменных (букв)

Уравнение вида где  переменная,  некоторые числа, называют линейным уравнением с одной переменной.

Математическая модель – составленное по данному условию уравнение.

Алгоритм – последовательность действий.

Выражения, соответственные значения которых равны при любых значениях, входящих в них переменных, называют тождественно равными.

Равенство, верное при любых значениях входящих в него переменных, называют тождеством.

Степень числа а с показателем 1 называют само это число.

При возведении отрицательного числа в степень с чётным показателем получаем положительное число. При возведении отрицательного числа в степень с нечётным показателем получаем отрицательного числа.

Одночлен – произведение чисел, переменных и их степеней.

Коэффициент одночлена – числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде.

Подобные одночлены – одночлены, имеющие одинаковую буквенную часть.

Многочлены – выражения, состоящие из суммы нескольких одночленов.

Многочлен стандартного вида – многочлен, состоящий из одночленов стандартного вида.

Степень многочлена стандартного вида – наибольшая степень из степени одночлена, из которых составлен многочлен.

Нуль – многочлен – число нуль, также многочлены, тождественно равные нулю.

Тождественно равные выражения – выражения, соответственные значения которых равны при любых значениях входящих в них переменных.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и полученные произведения сложить.

Разложение многочлена на множители: представление многочлена в виде произведения нескольких многочленов.

Формулы сокращенного умножения

Полный квадрат – трехчлен, который можно представить в виде квадрата двучлена.

Читать еще:  Курс иврита для начинающих

P =4 a , где а – независимая переменная(может принимать любые значения), Р – зависимая(изменятся в зависимости от а)

Функция – правило, с помощью которого по каждому значению независимой переменной можно найти единственное значение зависимой переменной.

Функциональная зависимость – зависимость одной переменной от другой.

Аргумент — независимая переменная.

Область определения – все значения, которые принимает аргумент.

Значение функции – значение зависимой переменной.

Заданная функция – функция, где указаны её область определения и правило, с помощью которого можно по каждому значению независимой переменной найти значение зависимой переменной.

Область значений функций – все значения, которые принимает зависимая переменная.

Способы задание функции: 1. Описательный, 2. С помощью формул, 3. Табличный.

Все точки координатной плоскости, которые можно отметить, действуя таким способом, образуют график функции.

График функции f геометрическая фигура, состоящая из всех тех, и только тех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции f .

Линейная функция – функция, которую можно задать формулой Её график – прямая.

Линейная функция, которая задается формулой называют прямой пропорциональностью.

Случай, когда значение функции будет оставаться неизменным при любых значениях аргумента.

Равенство, содержащее две переменные называется уравнением с двумя переменными.

Пару значений, обращающую уравнение в верное равенство называют решением уравнения с двумя переменными.

Решить уравнение с двумя переменными – значит найти все его решения или показать, что оно не имеет решений.

График уравнения с двумя переменными – геометрическая фигура, состоящая из всех тех, и только тех точек координатной плоскости, координаты которых (пары чисел) являются решением данного уравнения.

Линейное уравнение с двумя переменными называют уравнение вида

Случай, когда графиком уравнения является прямая.

Решить систему уравнений – значит найти все её решения или показать, что оно не имеет решений.

Суть графического метода: 1) построить на одной координатной плоскости графики уравнений, входящих в систему, 2) найти координаты всех точек пересечения графиков, 3) полученные пары чисел будут искомыми рениями.

Суть метода подстановки: 1) выразить из любого уравнения системы одну переменную через другую, 2) подставить в другое уравнение системы, вместо этой переменной, 3) решить уравнение с одной переменной, 4) подставить найденное значение переменной в выражение, получено на первом шаге, 5) вычислить значение другой переменной.

Суть метода сложения: 1) подобрав «выгодные» множители, преобразовать одно или оба уравнения системы так, чтобы коэффициентом при одной из переменных стали противоположными числами, 2) сложить почленно левые и правые части уравнений, 3) решить уравнение с одной переменной, 4)подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы, 5) вычислить значение другой переменной.

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector