Krististudio.ru

Онлайн образование
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Геометрия начальный курс

Материалы по геометрии: школьная программа

Геометрия является одним из разделов математики, изучаемых в школе. Начиная с 7 класса, под изучение этого предмета выделяется отдельный урок. И с этого момента геометрия будет сопровождать школьников, на протяжении всего обучения.

  • Геометрия является предметом, который развивает и формирует у школьников пространственное изображение и логическое мышление. При изучении школьники узнают об основных методах доказательства теорем и утверждений.

Темы школьной геометрии

Школьный курс геометрии разбит на два больших раздела: планиметрия (геометрия на плоскости) и стереометрия (геометрия в пространстве).

  • Первые три года (с 7 по 9 класс) изучается планиметрия.

В 7 классе изучаются основные понятия геометрии: точка, прямая, отрезок, угол, луч. После изучения основ, рассматривается одна из основных фигур – треугольник. Изучаются три признака равенства треугольников и основные теоремы: теорема о сумме углов треугольника, неравенство треугольника и д.р. А также исследуются параллельные прямые.

В 8 классе продолжается изучение треугольников. Рассматриваются три признака подобия треугольников. Рассматриваются основные виды четырехугольников. На этом же этапе изучения рассматривается подробно понятие площади фигуры. Даются формулы для вычисления площадей прямоугольника, треугольника, трапеции. Изучается теорема Пифагора. Вводится понятие вектора. Изучаются правила сложения и вычитания векторов.

В 9 классе изучается очень мощный метод используемый при решении широкого класса геометрических задач – метод координат. Кроме того, изучается основные теоремы о соотношении между сторонами и углами в произвольном треугольнике: теорема синусов и теорема косинусов. Вводится понятие правильного многоугольника и изучаются основные виды правильных многоугольников. Даются формулы для вычисления площади правильного многоугольника.

  • На этом заканчивается изучение планиметрии. В 10 и 11 классе изучается стереометрия.

На начальном этапе изучаются основные понятия и аксиомы стереометрии. Изучаются основные виды расположения прямых в пространстве: пересечение, параллельность, скрещивание. Кроме того изучается расположение прямой и плоскости в пространстве.

После изучения основ изучаются основные виды многогранников: призма, пирамида, усеченная пирамида. Кроме того, в конце 10 класса начинается изучение векторов в пространстве, что бы в начале 11 класса начать изучение метода координат в пространстве.

Кроме метода координат, в 11 классе изучаются фигуры образованные вращением прямой: цилиндр, конус, усеченный конус, а также сфера. Также вводится понятие объема тела и даются основные формулы для вычисления объемов различных геометрических фигур.

Стоит напомнить, что знания этого предмета проверяются в некоторых заданиях ЕГЭ по математике. В части С обязательно есть геометрическая задача.

  • Ниже есть список из классов, в каждом из которых есть список тем. Каждая тема написана нашим репетитором по геометрии. Все материалы по геометрии уникальны и могут использоваться любыми желающими на этом сайте.

Геометрия с нуля

Разделы: Математика

В 21 веке, несмотря на активное развитие науки, у многих школьников Российской Федерации такая наука, как геометрия вызывает все больше затруднений, а какая-то часть детей и вовсе не может решать простейшие геометрические задачи. Поэтому необходимо признать тот факт, что восприятие у нового поколения совершенно иное, и дело тут вовсе не в их деградации. Дети все также хотят развиваться: читают книги, смотрят научные фильмы и проводят эксперименты. Но самое главное, чего они не хотят, так это заучивать то, чего не понимают. На основе этого утверждения как раз и будет построена моя программа.

Представим, что перед нами сидит человек, который вообще не представляет, что такое геометрия. А именно так и выглядит бОльшая часть детей приходящих в 7 класс. Этот человек не в состоянии накладывать треугольники друг на друга и тем более не может делать из этого какие-то выводы. Поэтому сначала его нужно долго и упорно знакомить его с геометрией, чтобы в итоге он понял, насколько она проста и полюбил ее.

Разделение на уровни

Прежде всего, необходимо понять, что должен знать ребенок на определенном этапе. Для этого нужно разделить геометрию (планиметрию 7-9 класса) на 3 уровня:

  • Базовый уровень: школьник знает(не обязательно наизусть) и понимает простейшие теоремы, а также решает незамысловатые задачи;
  • Средний уровень: школьник умеет доказывать теоремы и решать задачи, используя доказательства;
  • Высокий уровень: школьник знает сложные теоремы и умеет решать сложные задачи.

Именно эти три пункта будут подробно описаны в статье.

Базовый уровень (простейшая теория и задачи)

— понятие точки, прямой, луча, отрезка, угла, фигуры и т.д.

Прежде всего, школьник должен понять, с чем он будет иметь дело на протяжении ближайших трех лет, поэтому начинать необходимо с вводного курса. Не надо давать детям сложные задачи, а их надо просто познакомить с геометрией.

— углы (по градусам)

Углам нужно уделить особое внимание, потому что далеко не все дети могут в пространстве могут отличить тупой угол от прямого. Кроме того, максимум внимания нужно уделить развернутому углу, потому что на нем будет основан следующий пункт.

Многим детям тяжело запомнить существующее определение смежных углов, и именно в большинстве случаев начинаются первые проблемы с геометрией. Поэтому мною будет предложено новое определение смежных углов: “Смежные углы – это углы, полученные в результате деления развернутого угла на две части.” Если уделить должное время развернутому углу, то получится сэкономить время на объяснении свойства смежных углов, т.к. оно итак будет понятно.

Вертикальные углы, также как и смежные, имеют весьма непростое определение, которое можно заменить ан более просто. Достаточно ограничиться следующим: “Вертикальные углы-это углы между пересекающимися прямыми.”, а далее просто постараться разобрать как можно больше примеров, связанных с вертикальными и смежными углами.

Этой теме я не стану уделять много внимания, т.к. он итак понятен большинству школьников.

Вместо равенства треугольников гораздо лучше рассматривать параллельные прямые, т.к., помимо получения новой информации, дети закрепляют старую, используя вертикальные и смежные углы при решении задач на параллельные прямые. Объяснять данную тему проще с признака, основанного на внутренних односторонних углах, т.к. единственное, что запоминают дети после шестого класса, это что сумма углов треугольника равна 180 градусам. Опираясь на это можно представить, что прямые пересекутся и образуют с секущей треугольник, сумма углов которого равна 180 градусам. А после этого показать детям вариант, при котором треугольника не будет, т.е. когда внутренние односторонние углы заберут градусную меру третьего угла треугольника. После этого остальные признаки доказать уже будет не так и сложно. Самое главное, не надо заставлять детей учить первые доказательства, т.к. они должны их понять.

— биссектриса, высота и медиана

После всех предыдущих тем, ребенок будет понимать, что такое углы и уметь с ними работать, а также будет знаком с прямыми, отрезками, фигурами и прочим. В этот момент ему уже можно давать более-менее сложные темы, которые ему в дальнейшем будут постоянно пригождаться. В определениях ничего менять не стоит, т.к. они итак максимально доступны. Единственное, что нужно обязательно сделать, так это убедиться в том, что ребенок может провести биссектрисы, медианы и высоты в любой фигуре и из любой вершины!

— треугольники *(при объяснении свойств треугольников можно и нужно опираться на признаки равенства)

Теперь, когда школьник со знаком с основами, можно приступать к рассмотрению фигур. Начать лучше всего с треугольников, т.к. именно они используются в большинстве задач. Здесь необходимо рассмотреть все виды треугольников с их свойствами. Объяснить ребенку откуда что берется, опять же не заставляя это заучивать. Но определения и свойства школьник должен знать, т.к. именно на этапе прохождения свойств фигур, мы можем начинать спрашивать с ребенка теорию. Теперь он уже полноценно вовлечен в процесс.

четырехугольники *(при объяснении свойств четырехугольников можно и нужно опираться на признаки равенства)

Здесь я бы хотела представить Вашему вниманию увлекательный процесс эволюции параллелограмма, который детям запомнить гораздо проще, чем определения из учебника:

Здесь рассмотрены только те свойства, которые способен легко усвоить школьник на базовом уровне.

Кроме того, сюда же необходимо включить и трапецию со всеми ее свойствами и разновидностями.

Таким образом, мы сможем закрепить параллельные прямые и понять, откуда что берется в четырехугольниках.

В этой теме необходимо рассмотреть разные виды многоугольников и сумму углов n-угольника.

Тема, которую итак все прекрасно понимают, поэтому ничего усложнять не надо.

Здесь я опять же хочу предложить удобную схему, которую необходимо объяснять с помощью бумажных фигурок.

Трапеция опять же рассматривается отдельно.

— подобие и первый признак подобия

Рассматривается исключительно в ознакомительных целях, чтобы детям легче было понимать начала тригонометрии.

— средние линии треугольника и трапеции

Средние линии лучше рассматривать вместе, потому что так они лучше усваиваются.

В самом начала тригонометрии, школьникам стоит напомнить о том, что такое соотношения, а после очень много времени посвятить самим определениям синуса, косинуса, тангенса и котангенса, чтобы школьники понимали, откуда взялись эти странные английские буквы. Затем необходимо рассмотреть множество задач, в которых они будут использоваться. Удобнее всего давать задачи на теорему Пифагора и площади. Желательно уже на базовом уровне ознакомить детей с таблицей, т.к. сейчас они уже максимально близки к среднему и уровню и способны усваивать информацию средней сложности.

Читать еще:  Курс ms sql server

— окружность и круг

И, наконец, последняя тема на базовом уровне. Здесь необходимо напоминать детям обо всем, что связано с окружностью и кругом, начиная с определений, т.к. никто уже ничего не помнит из курса 6 класса. А также стоит рассмотреть свойство касательной, вписанный и центральный углы, и свойство гипотенузы прямоугольного треугольника.

На этом базовый курс окончен. У рядового школьника достаточно базовых знаний, на которые он мог бы опираться при решении задач, с использованием доказательств. Пришла пора поближе с ними познакомиться.

Средний уровень (доказательства)

Расписывать программу для среднего уровня смысла нет, т.к. на этом этапе ребенок готов усваивать практически любую информацию и способен аргументированно решать задачи на доказательства. Единственное, что стоит сделать, так это перечислить темы среднего уровня:

— соотношения между сторонами и углами;

— признаки равенства треугольников;

— признаки подобия треугольников;

— четыре замечательные точки;

— вписанная и описанная окружности.

Этого вполне достаточно для доказательств средней степени сложности.

Высокий уровень (сложные доказательства и решение сложных задач)

К сожалению, немногие могут достичь высокого уровня, но каждый должен хотя бы попытаться. Опять же, нет смысла все подробно расписывать, поэтому будут перечислены лишь темы:

— углы при окружности;

Из всего вышесказанного можно сделать следующий вывод: прогресс любого школьника основан на его базовых знаниях. Если они есть, то их необходимо лишь грамотно развивать. Поэтому, прежде всего, необходимо упростить получение базовых знаний и сделать их максимально доступными для всех школьников без исключения.

Примечание: векторы в статье не учтены, т.к. являются дополнением ко всему вышесказанному.

Библиотека старых советских учебников по геометрии

Старые учебники СССР

Назначение: 4-5 классов

Авторство: Кавун И. Н.

Формат: DjVu, Размер файла: 2.01 MB

СОДЕРЖАНИЕ

Ни один предмет, вероятно, не дает столько свободы для личного и педагогического усмотрения, как начальный курс геометрии.

Если мы пересмотрим множество руководств по начальной геометрии, вышедших у нас и заграницей, то найдем в каждом из них такие особенности, которые делают одну книгу совсем непохожей на все другие. Впрочем, исключение составляют те книги по этому предмету, которые написаны „по образу и подобию», так называемых, логических курсов и на которых известный ученый Ф. Клейн рекомендует делать предостерегающую надпись: „не для детей!“. Поэтому автор настоящей книги желал бы, чтобы учитель, который будет читать ее, ознакомился предварительно из этого предисловия с ее особенностями, которые при чтении книги могут ускользнуть от внимания или остаться немотивированными, а потому и непонятными.

Прежде всего заметим, что в книге предмет излагается, в классе же он будет разрабатываться и при том по-преимуществу в вопросно-ответной форме.

В основу книги положены методы генетический и изобретательный. В классной работе эти методы должны быть усилены.

I. Генетический метод. Отметим здесь более существенные черты сперва генетического метода. В начале курса мы рассматриваем частные геометрические формы и к общим родовым понятиям переходим значительно позже.

Из семейства четыреугольников в книге излагается сперва простейший из них—квадрат, за ним следует прямоугольник, наконец, параллелограмм и трапеция. Эти четыреугольники в понятии учеников в это время существуют, как отдельности, мало между собою связанные, и совершенно не подведены под общее родовое понятие. По мере изучения их, выясняются общие их свойства, которыми позднее во II части курса мы пользуемся для того, чтобы нарисовать перед учащимся картину родства, так сказать, родословную видов четыреугольника, идя уже в обратном направлении — от общего понятия четыреугольника к частным его видам.

Еще пример. Знакомя учащихся с измерением площадей плоских фигур, мы начинаем с квадрата и прямоугольника, которые делим на квадратные клетки, на кв. единицы. Измеряя площадь параллелограмма и треугольника, мы также пытаемся покрыть их поверхности квадратными единицами и достигаем этого, превращая эти фигуры в прямоугольники. Площади правильных и неправильных многоугольников мы вычисляем, пользуясь правилами вычисления площади треугольника и не обращая этих многоугольников в прямоугольники; только вскользь напоминаем о возможности такого обращения. Наконец, площадь круга вычисляется уже абстрактно, по правилу. Впрочем, и здесь образа кнадрата, как меры поверхности, мы не устраняем окончательно и предлагаем учащимся узнать приблизительно площадь круга, покрыв его сеткой из квадратиков и подсчитав их (ч. II).

Понятия о геометрических формах в начале курса имеют грубовещественный характер. Куб—из глины, бумаги или дерева. Прямая линия — пока только отрезок, ограниченный размерами чертежа; образом ее служат натянутая нить, черта, узкая полоска бумаги, ребро линейки и пр.; она может быть толще и тоньше. Постепенно под влиянием изучения свойств геометрических форм они идеализируются.

Генетический метод обязывает нас развертывать пред учащимися предмет в такой форме, чтобы новые вопросы возникали у них естественно в процессе развития понятий и вытекали из хода работы. Глава I втей книги может иллюстрировать эту мысль. Второй пример заимствуем из второй части. Для измерения недоступных расстояний изучаем равенство и подобие треугольников. Условия’равенства и подобия треугольников появляются при построении треугольников, конкретнее говоря, при решении задачи—перенести с одного места на другое треугольник, не меняя его величины или изменив величину, но не меняя его формы. При этом возникает вопрос, всегда ли возможно построить треугольник по данным трем сторонам или по данным двум углам и их стороне. Изучая ближе условия возможности, мы приходим к относительному положению окруясностей и к сумме углов треугольника (ч. II).

Наконец, еще третий пример. Осевая и центральная симметрия изучаются в курсе не как самодовлеющие только ценности. Они появляются в курсе, как методы изучения фактов, как средства сравнения фигур. Когда вам надо убедиться, равны ли фигуры, мы их налагаем одну на другую. Отыскивая при этом кратчайший путь движения фигуры, мы останавливаемся или на повороте ее вокруг прямой или на повороте ее вокруг точки, откуда и возникают оба вида симметрии.

II. Изобретательный метод. С генетическим методом тесно сплетается метод изобретательный (эвристический). Стремясь вызвать учащегося на самостоятельную изобретательную работу, мы расчленяем сложный вопрос на ряд простых вопросов, доступных для самостоятельного решения их учащимся. Такие расчленения можно встретить в книге весьма часто.

III. Образность и правила. Не следует искусственно ускорят! процесс развития отвлеченных геометрических понятий. Пусть эти понятия остаются возможно дольше о бр а з ны м и. Ведь ясность, отчетливость в начальном курсе геометрии обусловливаются образностью. Приведем пример. Площадь прямоугольника учащиеся находят, заполняя его квадратными единицами—сперва фактически, а затем в воображении. Подсчет этих кв. единиц приводит их к известному правилу измерения площади прямоугольника. Правило это должно возникнуть в голове ученика естественно, самостоятельно, без энергичного подталкивания се стороны учителя,—под влиянием стремления к облегчению и сбережению собственного труда. Возникновению мысли о правиле предшествует ряд упражнений, которые учащиеся решают по соображению, воспроизводя в каждом из них рассуждения заново. Поэтому и в нашей книге правилу предшествует группа задач, другая группа задач его заключает.

IV. Опыт в начальном курсе геометрии. Геометрические знания достигаются в настоящем курсе при помощи опыта, или, как принято говорить, лабораторным методом. Опыт здесь разумеется в следующих видах: черчение, вырезывание из бумаги, склеивание, вылепливание из глины, измерение и оценка на глаз. Пользуясь опытом, мы не подчиняемся ему слепо. Опыт ученика для нас средство для развития мысли учащегося и пытливости его ума.

V. Связь геометрии с другими предметами. Мы стремились к тому, чтобы геометрия не была предметом, обособленным от других научных предметов и от жизненной практики. С этой целью в книгу введено множество задач, содержание которых заимствовано из практики или из научных областей. Геодезические работы проходят чрез весь курс геометрии, не составляя в нем отдельной главы. На практике они будут относиться всегда на весеннюю и осеннюю пору. Наконец, практические вадачи служат очень часто исходной точкой при разработке того или другого геометрического вопроса. Изучая какую-нибудь геометрическую

фигуру, мы предварительно рассматриваем ее в каком-либо архитектурном орнаменте; или изучая площадь фигуры, мы берем подходящий для этого пример на плане или на местности.

Очень важно сближение геометрии с арифметикой. Геометрия доставляет арифметике образы при разработке арифметических понятий и материал для арифметических задач. Поэтому в настоящем курсе имеется много задач на вычисление; часто встречаются задачи, решение которых удобно связывать с данными числами с помощью уравнения (во 2 ч.); не мало задач, решение которых требуется написать в виде буквенной формулы; наконец, встречаются преобразования буквенных выражений, находящиеся в соответствии с заковами арифметических действий, напр., при выводе формул для вычисления площадей треугольника и четыреугольника.

VI. Пространственная интуиция. Большое значение в этом курсе геометрии придается пространственной интуиции, понимая это слово в смысле непосредственного восприятия геометрических истин, помимо какой бы то ни было их проверки. Интуиция основывается на развитом пространственном воображении. Отметим те места курса, которые особенно способствуют развитию воображения.

Читать еще:  Курсы звукооператоров в москве

А. Деление фигуры на части и составление из них другой равносоставной фигуры.

В. Подвижные модели. Ценность их заключается в том, что они облегчают усмотрение главных свойств фигуры, иллюстрируют условия образования фигуры, показывают переход от данной фигуры к предельным ее формам.

D. Тела вращения.

E. Наконец, вопросы пространственного характера, которые требуют, чтобы учащийся представлял себе пространственные формы в любом положении, в движении и путем расчленения и сочетания форм создавал новые формы.

VII. Движение и преобразование. В книге уделяется большое внимание движению и преобразованию, как методам познавания геометрических форм. Подвижные модели, о которых была речь выше, иллюстрируют непрерывное’ видоизменение формы и в то же время постоянство некоторых свойств ее. Превращение одной фигуры в другие без изменения ее площади, симметрия осевая и центральная, равенство и подобие треугольников рассматриваются, как преобразования форм.

VIII. Логическая работа. Настоящий курс, главным образом во 2-ой его части, ставит себе цель—постепенно воспитать в учащихся

способность логически связывать добытые ими геометрические сведения. С этой целью в курсе, на ряду с опытом и интуицией, встречаются и рассуждения в форме доступных для детей соображений и заключений.

В конце курса мы прибегаем иногда к несложным доказательствам, которые представляют собою умозаключения, основанные чаще всего на утверждениях, добытых ранее опытно-интуитивным путем. Доказываются только гакие утверждения, которые не вполне очевидны, вызывают сомнения и не требуют для доказательства сложных рассуждений.

Доказательству предшествует всегда опыт. Роль опыта заключается, с одной стороны, в том, чтобы натолкнуть учащегося на догадку, на предположена, а с другой, пробудить до известной степени сомнение в достовердести результата, полученного опытом. (См. во II части подход к выводу правила о сумме углов треугольника). Рассуждение разрешает юпрос о правильности догадки.

IX. Цели начального нурса геометрии. В этой книге мы ставим своей цедрю выбрать такой материал, который имел бы для учащегося практическую ценность на его жизненном пути, и представить этот материал в такой форме, которая обеспечивала бы ему по возможности большее фспитательное и образовательное влияние на ученика.

Вместе с тем мы ставим себе и другую цель—подготовить ученика к доказательному курсу геометрии, сообщив ему достаточно подвижный запас геометрических представлений; развив его пространственное воображение! восиитав в нем способность логически связывать добытые геометрические сведения и облекать свои суждения в более или менее точную отвесную форму.

X. Рдепределение материала. По годам геометрический материал располагается следующим образом.

В первые два года обучения (кл. А и Б) занятия геометрией теснейшим образ|м связаны с арифметикой, служа для нее иллюстративным материалом

3-ий год обнимает прямоугольные формы, т. — е. куб и квадрат, прямоугольный параллелепипед и прямоугольник.

4-ый год заключает, главным образом, треугольные формы—треугольник и треугольную призму (вычисление площади и объема).

В 5-ый году изучаются, главным образом, вопросы, связанные с равенством У подобием треугольников.

6-ой год посвящается изучению многоугольников и круглых форм.

Эта схема расположения материала показывает, что в настоящем курсе планшртрия и стереометрия не разделены. Опыт показывает, что наибольший ;нтерес к геометрии и наибольшую продуктивность приобретают занятия геометрией в том случае, когда изучение свойств геоме-1 трических форм, ручные работы, измерения и вычисления сближаются и чередуются. А это легче всего достигается при объединении стереометрии и планиметрии.

Если бы матерьял, предлагаемый в первой части „Курса Геометрии» оказался бы по каким-либо причинам чрезмерным, то его можно было бы сократить, отнеся прямой параллелепипед и параллелограмм (§§ 23—28) на 5-ый год обучения.

Для более подробного и обоснованного уяснения различиях сторон и особенностей настоящего сочинения отсылаем читателя к прекрасным книгам—Методике и дидактике подготовительного курса геометрии — А. Р. Кулишера и Методике геометрии—Трейтлейна.1

При изложении соотношений между русскими и метрическими квадратными мерами мы воспользовались очень хорошей кншйсой Я. И. Перельмана «Старые и новые меры».

Курс геометрии в том виде, как он излагается в этой Книге, прорабатывался под руководством автора в течение 12 лет в образцовых школах Петербургской Учительской Школы Губ. земства. Методические основы его излагались на многих учительских курсах в России, Петербургской Педагогической Акадмии и в Педагогическом Институте.

Математика

Строка навигации

Начальный курс геометрии

В пп. 5 и 6 выяснены как увлечения современной методической мысли по отношению к геометрии, так и ошибки современной методики геометрии. Поэтому тот «пропедевтический» курс геометрии, который предназначен для маленьких учащихся и который связан с этими увлечениями, приходится отвергнуть (образцы таких курсов представляют собою учебники Астряба, Кемпбеля, Кулишева, Гебеля (по Горнбруку) и др). Однако самая мысль начать обучение геометрии с малого возраста заслуживает полного внимания. И маленьких детей можно учить геометрии, но только это надо делать так, чтобы на протяжении обучения дети осваивались бы. Насколько это согласуется с их развитием, а, следовательно, и с возрастом, с характером той работы, какая свойственна геометрическим изысканиям. Важно не то, чтобы в голове ребенка накопилась масса знаний геометрического характера, а важно то, чтобы сознание ребенка проделало бы, хотя бы и маленькую, но чисто-геометрическую работу.

Для классного обучения геометрии наиболее подходящим моментом для начала курса геометрии является 3-й год обучения или, быть может, вторая половина 2-го года. Для начальной школы с четырехлетним курсом является возможным построить маленький курс начал геометрии (будем его называть «Начальный курс»), связанный до известной степени с арифметикой. При пятилетнем курсе или при наличности благоприятных условий и при четырехлетнем курсе явится возможность увеличить материал курса и достигнуть уже сравнительно большого развития геометрического представления у учащихся и, быть может, большего, чем то, какое имелось у большинства учеников, окончивших нашу прежнюю среднюю школу.

Начальный курс геометрии, так же, как и вообще всякое обучение геометрии, должен опираться на те основные пожелания, которые изложены в п. 7, где выяснен желательный характер вообще для курса геометрии. Однако, начальный курс должен иметь и некоторые особенности.

Первая категория особенностей имеет своею причиною то обстоятельство, что психика детей не может выполнять ту работу, которая требует продолжительного внимания и запечатления отдельных ее моментов. Такою работою является прежде всего сопоставление нового геометрического образа с разученными ранее и получение из этого сопоставления каких-либо выводов. Лишь на 5-м году обучения таковую работу можно ввести в курс, да и то с известною осторожностью. Результатом этого общего соображения явится необходимость значительно сократить тот материал, который должен быть проработан в начальном курсе. Так, думается, ни на третий, ни на 4-ый годы обучения было бы неуместно вводить признаки равенства треугольников и пользоваться этим равенством для получения каких-либо свойств более сложных фигур. Лишь наличность особенно благоприятных условий может позволить ввести в дело равенство треугольников во 2-ой половине 4-го года обучения. Так же точно много сомнений возникает по поводу введения в курс 3-го или 4-го года обучения учения о подобии треугольников. С одной стороны, идея подобия, иллюстрируемая фотографиями, планами и т. п., представляется вполне доступной детскому разумению. Но, с другой стороны, нельзя не согласиться, что эта идея подобия у детей, и даже не маленьких, имеется лишь в форме какой-то неясной интуиции, а задача ввести сюда отчетливость представляется крайне трудною для методиста-геометра. И вот, не смотря на желательность возможного раннего ознакомления детей с подобием плоских фигур, не смотря на значение подобия для практики, приходилось, за недостатком методической разработки этого вопроса, отказываться от введения учения о подобии в начальный курс геометрии. Если же на практике и приходилось встречаться с тем или иным проявлением идеи подобия, то приходилось довольствоваться только теми туманными интуициями о «сходстве», которые имеются у детей под влиянием жизненного опыта. Таким образом введение в начальный курс геометрии учения о подобии – дело будущего, когда появится ряд работ по этому вопросу.

Другая категория особенностей начального курса имеет причиною то обстоятельство, что ученики, окончившие начальную школу с 4-5 летним курсом (а иногда и с трехлетним), этим и заканчивают свое образование. В таком случае школе приходится озаботиться о том, чтобы снабдить их практическими умениями, которые им могут пригодиться в их жизни. И на геометрию падает доля этой заботы. Отсюда вытекает надобность дать учащимся на протяжении начального курса геометрии несколько практических сведений. К этим практическим геометрического характера сведениям можно отнести и кое-какие сведения из области подобия, о котором шла речь выше. Однако, на эту сторону курса так и надо смотреть, что здесь мы сообщаем учащимся ряд практических умений, а забота об их геометрическом развитии здесь отходит на задний план. Поэтому здесь уже не приходится заботиться о том, чтобы учащиеся ясно себе представили непреложность того или иного сообщаемого сведения, а забота должна быть направлена главным образом на то, чтобы учащиеся запомнили эти сведения и умели бы их применять к практике. К области этих сведений относятся вопросы об измерении площадей различных фигур и об измерении объемов различных тел.

Читать еще:  Курсы мастер по ремонту бытовой техники

Если, как это указано выше, распределить начальный курс геометрии на 3 года, на 3-ий, 4-ый и 5-ый года обучения, то намечается такой план этого курса.

3-ий год обучения. Прямолинейные отрезки, углы; операции над ними. Треугольник. Понятие о параллельности. Прямой угол. Квадрат и прямоугольник.

4-ый год обучения. Измерение площадей параллелограмма, треугольника, трапеции. Измерение углов градусами. Длина и площадь круга. Построение сетки куба; куб. Измерение объемов.

5-ый год обучения. Построение угла, равного данному. Равенство треугольников. Равнобедренный треугольник. Построение параллельных прямых. Изучение параллелограмма, ромба, прямоугольника. Изучение при помощи куба взаимного расположения плоскостей и прямых в пространстве. Геометрические места точек плоскости и пространства, находящихся на данном расстоянии от данной точки или данной прямой, находящихся на равных расстояниях от двух или трех данных точек, от двух параллельных прямых или плоскостей, от двух пересекающихся прямых или плоскостей и т. п.

В пояснение этой краткой программы следует дать несколько указаний.

Курс 3-го года обучения должен состоять в приобретении учащимися ряда умений (вроде: «я умею строить угол», «я умею строить прямой угол»), причем после приобретения умения строить квадрат и прямоугольник явится прочная опора для изучения квадратных мер и для измерения площадей прямоугольников. Таким образом желательно статью о квадратных мерах из арифметики перенести в геометрию (или, по крайней мере, тесно их связать). Само собою разумеется, что уже в таком случае не следует проходить квадратные меры на 2-м году обучения.

В 4-ый год обучения явится возможность расширить практическую часть курса рассмотрением вопросов об измерении площадей различных фигур. Построение сетки куба и получение при помощи перегибания этой сетки самого куба даст прочное основание для изучения кубических мер и для измерения объемов. Таким образом статью о кубических мерах из арифметики следует перенести на 4-ый год обучения и связать ее с геометриею.

В 5-ый год обучения уже надлежит особое внимание обратить на чисто-геометрическую сторону курса, для чего необходимо ввести в дело циркуль. И надо, чтобы каждый учащийся имел циркуль и выполнял при его помощи ряд работ. Основным построением является здесь построение угла, равного данному; при помощи этого построения является легкая возможность перейти и к построению параллельных прямых и к изучению признаков равенства треугольников и затем, конечно, к использованию этих признаков для изучения других геометрических фигур. Что касается заглавия программы – «Равнобедренный треугольник», то это заглавие приведено в рубрике для 5-го года обучения потому, что, быть может, удобнее всего именно на 5-м году обучения использовать свойства равнобедренного треугольника с практическою целью построения прямых углов на местности. Геометрическая же сторона этого вопроса настолько проста, что она доступна, пожалуй, даже и на 3-ий год обучения. Поэтому является полная возможность перенести изучение свойств равнобедренного треугольника на 4-ый или даже 3-ий год обучения. Что касается двух последних частей курса «Взаимное расположение плоскостей и прямых в пространстве» и «Геометрические места точек . », то им следует придавать существенное значение для геометрического развития учащихся, но для успеха дела необходимо, чтобы сами учащие овладели бы этими вопросами в совершенстве.

Мною сделана попытка составить руководство для предлагаемого в выше указанном плане начального курса геометрии. Эта попытка вылилась в форме книги – «Начальный курс геометрии», которая должна помогать учителю вести дело с учениками 3-го и 4-го годов обучения, а ученикам на руки может быть дана лишь на 5-м году обучения, и задачника – «Упражнения по начальному курсу геометрии», который уже дается на руки ученикам, начиная с 3-го года обучения (т. е. с самого начала курса геометрии).

Повторяем и систематизируем школьный курс геометрии. Крамор В.С.

4-е изд. — М.: 2008. — 336 с.

В книге в конспективной форме изложен теоретический материал по геометрии. В параграфах к каждому пункту теоретического материала приведены упражнения с решениями и упражнения трех уровней сложности для самостоятельного решения.

Пособие может быть использовано при подготовке к выпускным экзаменам в средней школе, сдаче ЕГЭ и вступительным экзаменам в вуз

Размер: 3 3 , 3 Мб

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
ПЛАНИМЕТРИЯ
Глава I
§ 1. Геометрические фигуры. Точка и прямая 5
§ 2. Основные свойства измерения отрезков и углов. Основные свойства откладывания отрезков и углов 7
§ 3. Существование треугольника, равного данному 7
§ 4. Основное свойство параллельных прямых 8
§ 5. Математические предложения 8
§ 6. Смежные углы. Вертикальные углы 10
§ 7. Перпендикулярные прямые 12
§ 8. Доказательство от противного 12
§ 9. Углы, отложенные в одну полуплоскость 13
Глава II
§ 1. Признаки равенства треугольников 14
§ 2. Равнобедренный треугольник 16
§ 3. Медиана, биссектриса и высота треугольника 18
§ 4. Признаки параллельности прямых 20
§ 5. Сумма углов треугольника 23
§ 6. Прямоугольный треугольник. Признаки равенства прямоугольных треугольников 25
§ 7. Существование и единственность перпендикуляра к прямой 28
Глава III
§ 1. Окружность 29
§ 2. Задачи на построение 33
§ З.Углы, вписанные в окружность . 36
Глава IV
§ 1. Определение четырехугольника. 39
§ 2. Параллелограмм 39
§ 3. Прямоугольник. Ромб. Квадрат 42
§ 4. Теорема Фалеса 46
§ 5. Трапеция 48
Глава V
§ 1. Косинус угла 52
§ 2. Теорема Пифагора 53
§ 3. Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике 61
§ 4. Основные тригонометрические тождества. Значения синуса, косинуса и тангенса некоторых углов 65
§ 5. Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса любого угла от 0° до 180° 68
Глава VI
§ 1. Введение координат на плоскости 71
§ 2. Координаты середины отрезка 73
§ 3. Расстояние между точками 75
§ 4. Уравнение окружности 77
§ 5. Уравнение прямой. Расположение прямой относительно системы координат 80
§ 6. Пересечение прямой с окружностью 86
Глава VII
§ 1. Примеры преобразования фигур 88
§ 2. Движение. Свойства движения . 89
§ 3. Равенство фигур 90
§ 4. Преобразование подобия и его свойства 90
§ 5. Подобие фигур 90
Глава VIII
§ 1. Параллельный перенос и его свойства 98
§ 2. Понятие вектора 99
§ 3. Абсолютная величина и направление вектора 100
§ 4. Координаты вектора 101
§ 5. Сложение и вычитание векторов 102
§ 6. Умножение вектора на число . 106
§ 7. Скалярное произведение векторов 111
Глава IX
§ 1. Теорема косинусов 115
§ 2. Теорема синусов 119
§ 3. Выпуклые многоугольники. Правильные многоугольники 121
§ 4. Длина окружности. Центральный угол и дуга окружности 126
Глава X
§ 1. Понятие площади. Площадь прямоугольника 130
§ 2. Площадь параллелограмма. Площадь треугольника 133
§ 3. Площадь ромба. Площадь трапеции. Отношение площадей подобных фигур 137
§ 4. Площадь круга. Площадь сектора. Площадь сегмента 143
§ 5. Площадь описанного многоугольника. Формулы для радиусов описанной и вписанной окружностей треугольника 147
СТЕРЕОМЕТРИЯ
Глава XI
§ 1. Стереометрия. Аксиомы. Следствия из аксиом 152
§ 2. Параллельные прямые в пространстве 153
§ 3. Параллельность прямой и плоскости 153
§ 4. Параллельность плоскостей . 154
Глава XII
§ 1. Перпендикулярность прямых. Перпендикулярность прямой и плоскости 155
§ 2. Перпендикуляр и наклонная . 156
§ 3. Перпендикулярность плоскостей 159
§ 4. Расстояние между скрещивающимися прямыми 161
Глава XIII
§ 1. Введение декартовых координат в пространстве 165
§ 2. Преобразование фигур в пространстве 169
§ 3. Углы между прямыми и плоскостями 171
§ 4. Векторы в пространстве 174
Глава XIV
§ 1. Многогранные углы 178
§ 2. Многогранник 183
§ 3. Призма 183
§ 4. Параллелепипед 188
§ 5. Пирамида 193
§ 6. Правильные многогранники 203
§ 7. Построение плоских сечений . 203
Глава XV
§ 1. Цилиндр 208
§ 2. Конус 214
§3. Шар 220
§ 4. Уравнение сферы 227
Глава XVI
§ 1. Объем прямоугольного параллелепипеда 229
§ 2. Объем призмы 235
§ 3. Объем пирамиды 239
§ 4. Объемы цилиндра и конуса 246
§ 5. Объем шара и его частей 253
Глава XVII
§ 1. Поверхность цилиндра 260
§ 2. Поверхность шара (сферы) и его частей 264
§ 3. Поверхность конуса 269
Приложения
1. Контрольные работы по планиметрии 275
2. Задачи повышенной трудности по планиметрии 285
3. Задачи повышенной трудности по стереометрии 287
4. Примерные варианты письменного вступительного экзамена 295

О том, как читать книги в форматах pdf , djvu — см. раздел » Программы; архиваторы; форматы pdf, djvu и др. «

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector