Решить тригонометрическое неравенство онлайн с подробным решением

Тригонометрические неравенства и методы их решения

Тригонометрическими неравенствами называются неравенства, которые содержат переменную под знаком тригонометрической функции.

Методы решений неравенств:

1. Решение тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности.
2. Графическое решение тригонометрических неравенств.
3. Решение неравенств методом интервалов.

При решении более сложных тригонометрических неравенств пользуются двумя основными приемами:

I. Данное неравенство с помощью равносильных преобразований сводится к простейшим тригонометрическим неравенствам. При выполнении преобразований пользуются теми же приемами, что и при решении тригонометрических уравнений.

II. Применяется метод интервалов для определения числовых промежутков, в которых содержатся решения неравенства. Предварительно решается соответствующее тригонометрическое уравнение и устанавливаются интервалы знакопостоянства с учетом области определения неравенства.

Неравенство (sinx>a)

1. При (|a|≥1) неравенство (sinx>a) не имеет решений: (xin varnothing) .
2. При (a a) является любое действительное число: (xin mathbb R) .
3. При (−1≤a a) выражается в виде (arcsin a + 2pi n 1) неравенство (sinxge a) не имеет решений: (xin varnothing) .
4. При (ale−1) решением неравенства (sinxge a) является любое действительное число: (xin mathbb R) .
5. При (-1 решение неравенства (sinxge a) выражается в виде (arcsin a + 2pi n le x le pi — arcsin a + 2pi n,;n in mathbb) .
6. Случай (a=1 ) : (x = frac2 +2pi n,;n in mathbb) .

Неравенство (sinx

Неравенство (sinx≤a)

1. При (a≥1) решением неравенства (sinx≤a) является любое действительное число: (xin mathbb R) .
2. При (a
3. Случай (a=−1) : (x = -frac2 + 2pi n,;n in mathbb) .

Неравенство (cosx>a)

1. При (a≥1) неравенство (cosx>a) не имеет решений: (xin varnothing) .
2. При (a a) является любое действительное число: (xin mathbb R) .
3. При (−1≤a a) имеет вид (-arccos a + 2pi n 1) неравенство (cosx≥a) не имеет решений: (xin varnothing) .
4. При ( a≤−1) решением неравенства (cosx≥a) является любое действительное число: (xin mathbb R) .
5. При (-1 решение неравенства (cosx≥a) имеет вид (-arccos a + 2pi n le x le arccos a + 2pi n,;n in mathbb) .
6. Случай (a=1) : (x = 2pi n,;n in mathbb) .

Неравенство (cosx

Неравенство (cosx≤a)

1. При (a≥1) решением неравенства (cosx≤a) является любое действительное число: (xin mathbb R) .
2. При (a
3. Случай (a=−1) : (x = pi + 2pi n,;n in mathbb) .

Неравенство (tgx>a)

При любом действительном значении (a) решение строгого неравенства (tgx>a) имеет вид (arctg a + pi n

Для любого значения (a) решение неравенства (tgx записывается в виде (-frac2 + pi n

Неравенство (tgx≤a)

При любом (a) неравенство (tgx≤a) имеет следующее решение: (-frac2 + pi n a)

При любом (a) решение неравенства (ctgx>a) имеет вид (pi n

Для любого значения (a) решение неравенства (ctgx лежит в открытом интервале (arcctg a + pi n

Неравенство (ctgx≤a)

При любом (a) решение нестрогого неравенства (ctgx≤a) находится в полуоткрытом интервале (arcctg a + pi n le x frac12) .

Решение: Данное неравенство можно решить двумя способами: графически и с помощью единичного круга. Рассмотрим каждый из способов.

Первый способ. Изобразим в одной системе координат функции, описывающие левую и правую части неравенства, то есть (y=cosx и y=frac12) . Выделим промежутки, на которых график функции косинус (y=cosx) расположен выше графика прямой (y=frac12) .

Найдем абсциссы точек (x_1 и x_2) – точек пересечения графиков функций (y=cosx и y=frac12) , которые являются концами одного из промежутков, на котором выполняется указанное неравенство: (x_1=-arccosfrac12=-frac3; x_2=arccosfrac12=frac3) .

Учитывая, что косинус – функция периодическая, с периодом (2pi) , ответом будут значения x из промежутков ((-frac3+2pi k;frac3+2pi k), kin Z) .

Второй способ. Построим единичную окружность и прямую (x=frac12) (так как на единичной окружности косинусам отвечает ось абсцисс). Обозначим (P_ и P_) – точки пересечения прямой и единичной окружности. Решением исходного уравнения будет множество точек абсциссы, которых меньше (frac12) . Найдем значение (x_1 и x_2) , совершая обход против часовой стрелки так, чтобы (x_1 :

Учитывая периодичность косинуса, окончательно получим интервалы ((-frac3+2pi k;frac3+2pi k), kin Z) .

Простейшие тригонометрические уравнения (задание 5) и неравенства

(blacktriangleright) Стандартные (простейшие) тригонометричекие уравнения — это уравнения вида
(sin x=a,quad cos x=a,quad mathrm,x=b,quad mathrm,x=b) , которые имеют смысл при (-1leq aleq 1,quad bin mathbb) .

Для решения данных уравнения удобно пользоваться единичной окружностью (радиус равен (1) ).

Рассмотрим несколько примеров:

Пример 1. Решить уравнение (sin x=dfrac12) .

Найдем на оси синусов точку (dfrac12) и проведем прямую параллельно оси (Ox) до пересечения с окружностью. Получим две точки на окружности, в которых находятся все углы, синус которых равен (dfrac12) . Выберем в каждой точке по одному углу, причем удобнее выбирать эти углы из отрезка ([-pi;pi]) . Тогда в нашем случае это углы (dfrac6) и (dfrac<5pi>6) . Все остальные углы можно получить путем прибавления к данным углам (2picdot n) , где (n) — целое число (т.е. поворотом от данных на целое число полных кругов).

Таким образом, решением являются (x_1=dfrac6+2pi n, x_2=dfrac<5pi>6+2pi n, nin mathbb) .

Пример 2. Решить уравнение (cos x=-dfrac<2>) .

Найдем на оси косинусов точку (-dfrac<2>) и проведем прямую параллельно оси (Oy) до пересечения с окружностью. Получим две точки на окружности, в которых находятся все углы, косинус которых равен (-dfrac<2>) . Выберем в каждой точке по одному углу, причем удобнее выбирать эти углы из отрезка ([-pi;pi]) . Тогда в нашем случае это углы (dfrac<3pi>4) и (-dfrac<3pi>4) . Все остальные углы можно получить путем прибавления к данным (2picdot n) , где (n) — целое число.

Таким образом, решением являются (x_1=dfrac<3pi>4+2pi n, x_2=-dfrac<3pi>4+2pi n, nin mathbb) .

Пример 3. Решить уравнение (mathrm,x=dfrac3) .

Найдем на оси тангенсов точку (dfrac3) и проведем прямую через эту точку и центр окружности до пересечения с окружностью. Получим две точки на окружности, в которых находятся все углы, тангенс которых равен (dfrac3) .Выберем в каждой точке по одному углу, причем удобнее выбирать эти углы из отрезка ([-pi;pi]) . Тогда в нашем случае это углы (dfrac6) и (-dfrac<5pi>6) . Все остальные углы можно получить путем прибавления к данным (2picdot n) , где (n) — целое число, или путем прибавления к одному из данных углов (pi n) .

Таким образом, решением являются (x=dfrac6+pi n, nin mathbb) .

Пример 4. Решить уравнение (mathrm,x=sqrt3) .

Найдем на оси котангенсов точку (sqrt3) и проведем прямую через эту точку и центр окружности до пересечения с окружностью. Получим две точки на окружности, в которых находятся все углы, котангенс которых равен (sqrt3) . Выберем в каждой точке по одному углу, причем удобнее выбирать эти углы из отрезка ([-pi;pi]) . Тогда в нашем случае это углы (dfrac6) и (-dfrac<5pi>6) . Все остальные углы можно получить путем прибавления к данным (2picdot n) , где (n) — целое число, или путем прибавления к одному из данных углов (pi n) .

Таким образом, решением являются (x=dfrac6+pi n, nin mathbb) .

(blacktriangleright) Решения для любого стандартного тригонометрического уравнения выглядят следующим образом: [begin hline text <Уравнение>& text <Ограничения>& text<Решение>\ hline &&\ sin x=a & -1leq aleq 1 & left[ begin begin &x=arcsin a+2pi n\ &x=pi -arcsin a+2pi n end end right. , nin mathbb\&&\ hline &&\ cos x=a & -1leq aleq 1 & x=pm arccos a+2pi n, nin mathbb\&&\ hline &&\ mathrm, x=b & bin mathbb & x=mathrm, b+pi n, nin mathbb\&&\ hline &&\ mathrm,x=b & bin mathbb & x=mathrm, b+pi n, nin mathbb\&&\ hline end] Иногда для более короткой записи решение для (sin x=a) записывают как (x=(-1)^kcdot arcsin a+pi k, kin mathbb) .

(blacktriangleright) Любые уравнения вида (mathrm,big(f(x)big)=a) , (где (mathrm) — одна из функций (sin, cos, mathrm, mathrm) , а аргумент (f(x)) — некоторая функция) сводятся к стандартным уравнениям путем замены (t=f(x)) .

Пример 5. Решить уравнение (sin<(pi x+dfrac3)>=1) .

Сделав замену (t=pi x+dfrac3) , мы сведем уравнение к виду (sin t=1) . Решением данного уравнения являются (t=dfrac2+2pi n, ninmathbb) .

Теперь сделаем обратную замену и получим: (pi x+dfrac3=dfrac2+2pi n) , откуда (x=dfrac16+2n, ninmathbb) .

Если (n) точек, являющихся решением уравнения или системы, разбивают окружность на (n) равных частей, то их можно объединить в одну формулу: (x=alpha+dfrac<2pi>n, ninmathbb) , где (alpha) — один из этих углов.

Рассмотрим данную ситуацию на примере:

Пример 6. Допустим, решением системы являются (x_1=pm dfrac4+2pi n, x_2=pm dfrac<3pi>4+2pi n, ninmathbb) . Отметим эти точки на окружности:

Заметим, что длины дуг (buildrelsmileover, buildrelsmileover, buildrelsmileover, buildrelsmileover) равны (dfrac2) , то есть эти точки разбили окружность на (4) равных части. Таким образом, ответ можно записать в виде одной формулы: (x=dfrac4+dfrac2n, ninmathbb) .

где (lor) — один из знаков (leq, , geq) .

Пример 7. Изобразить на окружности множество решений неравенства (sin x >dfrac12) .

Для начала отметим на окружности корни уравнения (sin x =dfrac12) . Это точки (A) и (B) . Все точки, синус которых больше (dfrac12) , находятся на выделенной дуге. Т.к. при положительном обходе движение по окружности происходит против часовой стрелки, то начало дуги — это (A) , а конец — (B) .

Выберем в точке (A) любой угол, например, (dfrac6) . Тогда в точке (B) необходимо выбрать угол, который будет больше (dfrac6) , но ближайший к нему, и чтобы синус этого угла также был равен (dfrac12) . Это угол (dfrac<5pi>6) . Тогда все числа из промежутка (left(dfrac6;dfrac<5pi>6right)) являются решениями данного неравенства (назовем такое решение частным). А все решения данного неравенства будут иметь вид (left(dfrac6+2pi n;dfrac<5pi>6+2pi nright), ninmathbb) , т.к. у синуса период (2pi) .

Пример 8. Изобразить на окружности множество решений неравенства (cos x 0end)

Решением уравнения являются (x_1=dfrac3+2pi n, x_2=-dfrac3+2pi n, ninmathbb) . Подставим в неравенство (sin x+cos x>0) по очереди оба корня:

(sin x_1+cos x_1=dfrac2+dfrac12>0) , следовательно, корень (x_1) нам подходит;
(sin x x_2+cos x_2=-dfrac2+dfrac12