Krististudio.ru

Онлайн образование
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Найти промежутки возрастания функции онлайн

Возрастание, убывание и монотонность функции

Понятие возрастания, убывания и монотонности функции

Исследование функции на возрастание и убывание может быть как самостоятельной задачей, так и одним из этапов полного исследования функции и построения её графика.

Функции, у которых имеет место убывание или возрастание на некотором числовом промежутке, называются монотонными функциями.

Возрастание функции. Функция называется возрастающей на интервале ]a, b[ , принадлежащем области определения функции, если бОльшим значениям независимой переменной из этого интервала соответствуют бОльшие значения функции, т.е. если

x 2 > x 1 → f(x 2 ) > f(x 1 ) для всех x 1 и x 2 , принадлежащих интервалу.

Убывание функции. Функция называется убывающей на интервале ]a, b[ , если бОльшим значениям независимой переменной из этого интервала соответствуют меньшие значения функции, т.е. если

x 2 > x 1 → f(x 2 ) 0 ), то функция f(x) возрастает в этом промежутке.

Теорема 3 (достаточный признак убывания). Если во всех точках некоторого промежутка производная функции меньше нуля ( f ‘(x) < 0 ), то функция f(x) убывает на этом промежутке.

Замечание. Условия теорем 2 и 3 не являются в полной мере необходимыми. Их можно несколько ослабить, а именно заменить нестрогими неравенствами и считать, что производная функции больше или равна нулю ( f ‘(x) ≥ 0 ) или меньше или равна нулю ( f ‘(x) ≤ 0 ), так как заключения теорем остаются справедливыми и тогда, когда производная обращается в нуль в конечном множестве точек.

Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных.

Пример 1. Найти промежутки возрастания и убывания функции

Решение. Находим производную функции:

(Для разложения квадратного двухчлена на множители решали квадратное уравнение).

Для отыкания промежутков возрастания и убывания функции найдём точки, в которых . Такими точками являются и .

Исследуем знаки производной в промежутках, ограниченных этими точками. От до точки знак положителен, от точки до точки знак отрицателен, от точки до знак положителен. Ответ на вопрос задания: промежутки возрастания данной функции — и , а промежуток убывания функции — .

Читать еще:  Английский язык 7 класс онлайн

Пример 2. Найти промежутки возрастания и убывания функции .

Решение. Находим производную функции:

Решая уравнение , получаем точки, в которых производная функции равна нулю:

.

Исследуем знаки производной. От до точки знак положителен, от точки до точки знак отрицателен, от точки до знак положителен. Наше исследование показало, что промежутки возрастания данной функции и , а промежуток убывания —

Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных.

Пример 3. Найти промежутки возрастания и убывания функции .

Решение. Область определения функции — промежуток , так как логарифмическая функция определена при .

Далее находим производную функции:

.

Решая уравнение , получаем точку, в которой производная равна нулю:

Исследуем знаки производной. От 0 до точки знак отрицателен, от точки до знак положителен. Ответ: промежуток убывания функции — , а промежуток возрастания — .

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector