Krististudio.ru

Онлайн образование
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Аналитическая геометрия онлайн

Аналитическая геометрия

  • 15 недель

3 зачётных единицы

для зачета в своем вузе

О курсе

Курс ориентирован на бакалавров и магистров, специализирующихся по математическим или естественнонаучным дисциплинам, а также на учителей математики средних школ и на преподавателей ВУЗов. Будет также полезен школьникам, углубленно занимающимся математикой.
Построение курса традиционно. Курс охватывает классический материал по аналитической геометрии, изучающийся на первом курсе университета в первом семестре. Будут представлены разделы «Векторная алгебра», «Прямая на плоскости, плоскость и прямая в пространстве», «Кривые и поверхности второго порядка», «Аффинные преобразования».
В первой части курса будет дано понятие вектора, изучены свойства векторов, а также скалярные, векторные и смешанные произведения векторов. Далее мы перейдем к изучению линий и поверхностей первого порядка, каковыми являются прямые и плоскости.
Во второй части будут изучены кривые и поверхности второго порядка, дана их классификация. Кроме этого, мы познакомимся с понятием аффинного преобразования, поймем его геометрический и алгебраический смысл.
Последние две лекции будут посвящены проективной плоскости. Данный теоретический материал позволит нам решать различные задачи, которые также будут разобраны.

Формат

Форма обучения заочная (дистанционная). Еженедельные занятия будут включать просмотр тематических видео-лекций и выполнение тестовых заданий с автоматизированной проверкой результатов.
Важным элементом изучения дисциплины является самостоятельное решение вычислительных задач и задач на доказательство. Решение должно будет содержать строгие и логически верные рассуждения, приводящие к верному ответу (в случае задачи на вычисление) или полностью доказывающие необходимое утверждение (для теоретических задач).

Требования

Курс рассчитан на бакалавров 1 года обучения. Требуется знание элементарной математики в объеме средней школы (11 классов).

Программа курса

Лекция 1. Определение вектора. Сложение векторов, умножение вектора на число. Векторы на прямой. Линейная зависимость векторов.
Лекция 2. Коллинеарность и компланарность векторов. Геометрический смысл линейной зависимости. Базисы и координаты. Геометрическое описание координат векторов.
Лекция 3. Скалярное произведение векторов. Метрические коэффициенты базиса. Скалярное произведение в координатах.
Лекция 4. Аффинные и прямоугольные координаты. Полярные координаты на плоскости и в пространстве.
Лекция 5. Матрицы и операции над ними. Переход от одного базиса к другому. Переход от одной аффинной системы координат к другой.
Лекция 6. Определение ортогональной матрицы. Преобразование прямоугольных координат.
Лекция 7. Ориентация прямой, плоскости и пространства. Ориентированная площадь и ориентированный объем. Векторное и смешанное произведение векторов.
Лекция 8. Векторные уравнения прямой и плоскости. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Вычисление расстояний.
Лекция 9. Уравнение прямой линии на плоскости. Взаимное расположение прямых на плоскости. Полуплоскости. Прямая линия на плоскости с прямоугольной системой координат.
Лекция 10. Уравнение плоскости. Взаимное расположение двух плоскостей. Полупространства. Прямая в пространстве. Прямая и плоскость в пространстве с прямоугольной системой координат.
Лекция 11. Алгебраические линии на плоскости. Квадратичные функции и их матрицы. Ортогональные инварианты квадратичных функций. Преобразование уравнения линии второго порядка при повороте осей координат.
Лекция 12. Приведение уравнения линии второго порядка к каноническому виду. Определение уравнения линии второго порядка по ортогональным инвариантам.
Лекция 13. Директориальное свойство эллипса, гиперболы и параболы. Фокальное свойство эллипса и гиперболы. Кривые второго порядка в полярных координатах.
Лекция 14. Пересечение линии второго порядка с прямой. Теоремы единственности для линий второго порядка. Центры линий второго порядка.
Лекция 15. Асимптоты и сопряженные диаметры линий второго порядка. Сопряженные направления.
Лекция 16. Касательные к линиям второго порядка. Оптическое свойство эллипса, гиперболы и параболы.
Лекция 17. Главные направления и главные диаметры линий второго порядка. Оси симметрии.
Лекция 18. Определение и свойства аффинных преобразований. Аналитическая запись аффинных преобразований. Аффинная классификация линий второго порядка.
Лекция 19. Определение и свойства изометрических преобразований. Классификация движений плоскости.
Лекция 20. Поверхности второго порядка и матрицы квадратичных функций. Основная теорема о поверхностях второго порядка (без доказательства).
Лекция 21. Эллипсоид и гиперболоиды, их плоские сечения. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида. Конические сечения.
Лекция 22. Параболоиды, их плоские сечения. Прямолинейные образующие гиперболического параболоида. Цилиндрические поверхности. Аффинная классификация поверхностей второго порядка.
Лекция 23. Модели проективной плоскости: пополненная плоскость, связка, их изоморфизм. Однородные координаты на проективной плоскости.
Лекция 24. Арифметическая модель проективной плоскости. Принцип двойственности. Теорема Дезарга.

Читать еще:  Онлайн курсы по химии егэ бесплатно

Результаты обучения

В результате освоения курса слушатель получит представление о базовых понятиях аналитической геометрии – векторе, прямой, плоскости, кривой 2 порядка, поверхности 2 порядка, аффинном преобразовании, познакомится с их свойствами и научится применять эти свойства при решении задач.

Решение задач по аналитической геометрии

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Аналитическая геометрия – это раздел в геометрии, в котором геометрические фигуры и их свойства исследуются средствами алгебры.

В основе решения задач данного раздела геометрии лежит метод координат. Согласно методу координат каждому геометрическому соотношению ставится в соответствие некоторое уравнение, которое связывает координаты фигуры или тела.

Основателем аналитической геометрии полноправно считается Декарт, который в 1637 году серьезно взялся за развитие данного направления в математике. Среди ученых, внесших свой вклад в развитие аналитической геометрии, можно выделить Ньютона, Лейбница и др.

Все, что изучается в аналитической геометрии, можно разделить на два основных раздела:

  • аналитическая геометрия на плоскости, изучающая такие элементы как преобразование координат, прямая, эллипс, окружность, парабола и гипербола;
  • аналитическая геометрия в пространстве, изучающая плоскость, сферу, прямую.

Основные формулы

При решении задач по аналитической геометрии в первую очередь используются различные действия над векторами, которые заданы в координатной форме.
Приведем примеры часто используемых формул:

  • расстояние между двумя точками:
  • угол между векторами:
  • деление отрезка в отношении λ:

Понятие «уравнение линии» это элемент дальнейшего развития метода координат. Через любые две точки на плоскости можно провести прямую. Таким образом, если точка на плоскости определяется двумя числами (т.е. координатами точки), то линия на плоскости определяется уравнением, которое связывает координаты любой точки линии.

Приведем примеры некоторых уравнений:

  • общее уравнение прямой на плоскости:
  • Уравнение окружности радиуса r с центром в точке (x, y):
  • и многие другие.
Читать еще:  Чертилка онлайн бесплатно

Если же мы имеем дело с пространством, то там все аналогично плоскости, за исключением того, что координат используется не две, а три.

Приведем примеры уравнений и формул, используемых в пространственной аналитической геометрии:

  • уравнение сферы:
  • расстояние между двумя точками:
  • и т.д.

Аналитическая геометрия: этапы решения задач

Не знаете, с какого края подступиться к решению задачи? Предлагаем вашему вниманию некоторый алгоритм решения любой задачи по аналитической геометрии. Вам останется всего на всего запомнить четыре этапа, из которых состоит решение задачи, и решение любой задачи окажется вам «по плечу».

Этап 1. Определение вида задачи. На данном этапе нужно всего лишь определить «плоская» или пространственная задача предложена для решения.

Этап 2. Определить какие геометрические фигуры используются в условии задачи.

Этап 3. Выполнение чертежа. Чертеж лучше делать всегда, даже если этого не требуется по условию. Поверьте, это очень помогает при решении задачи.

Этап 4. Составление алгоритма решения и его выполнение. Как правило, задачи в геометрии не решаются в одну строчку. Поэтому для большей наглядности и упрощения себе жизни само решение и его оформление лучше разбить на сгруппированные по смыслу пункты.

Руководствуясь этими простыми этапами и помня основные формулы, можно решить любую, пусть даже самую сложную, задачу.

Примеры задач

Рассмотрим несколько задач из курса аналитической геометрии.

Пример 1. Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от прямой
x = -1 и точки E(2;2).
Решение:
Этап 1. В условии задачи точка E(2;2) определяется двумя координатами x = 2 и y = 2, следовательно, имеем «плоскую» задачу.

Этап 2. По условию задачи, можно выделить три различных фигуры – линия, точка, прямая.

Этап 3. Выполним схематический чертеж:

Этап 4.

  1. Рассмотрим произвольную точку линии — K(x, y). Расстояние от точки K до прямой x = -1 есть длина перпендикуляра KN, который опущен из точки K на прямую x = -1. Далее определим координаты точки N. Абсцисса точки N равна -1, а ордината точки N равна ординате точки K, т.е. N(-1, y) — координаты точки.
  2. По условию задачи имеем ρ(K, N) = ρ(K, E). Тогда для любой точки K(x, y), которая принадлежит искомой линии, справедливо равенство:

    или
  3. Упростим полученное уравнение:
  4. Искомое уравнение линии:
Читать еще:  Огэ по химии 2020 решать онлайн

Ответ: 6x = (y — 2) 2 + 5.

Пример 2. Найти расстояние от точки M(1, 1, 1) до плоскости α: 5x + yz + 1 = 0.
Решение:
Этап 1. В условии задачи точка M(1, 1, 1) определяется системой трех координат (x, y, z), следовательно, имеем пространственную задачу.

Этап 2. По условию задачи, можно выделить две различных фигуры – точка и плоскость.

Этап 3. Выполним схематический чертеж:

Этап 4.

  1. Расстояние от точки M(1, 1, 1) до плоскости α есть длина перпендикуляра KN, опущенного из точки M на эту плоскость.
  2. Расстояние от точки до плоскости определяется по формуле:
  3. 3. Вычислим искомое расстояние:

Ответ: .

Заключение

Не так страшен черт, как его малюют (русская пословица). В связи с этим, хочется отметить, что среди задач по аналитической геометрии большинство задач не сложные, поэтому не бойтесь страшных задач и у вас все получится.
В заключении приведем примерный список учебников для изучения курса аналитической геометрии:

  1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.
  2. Привалов И.И. Аналитическая геометрия.
  3. Постников М.М. Аналитическая геометрия.
  4. Грешилов А., Белова Т. Аналитическая геометрия. Векторная алгебра.

Решение аналитической геометрии на заказ

К нам вы можете обратиться за решением любых задач по аналитической геометрии. Заказать работу можно у нас на сайте. Для этого нужно только прикрепить файл с заданием и указать срок.

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector